2011年数学暑假作业答案（全） (3)

2011年高一数学暑假作业答案

（2）b3?a1q2,ai?a1??i?1?a1?q?1?，由b3?ai，

所以q2?1??i?1??q?1?,q2??i?1?q??i?2??0,解得，q?1或q?i?2，但q?1，所以q?i?2，因为i是正整数，所以i?2是整数，即q是整数，设数列{bn}中任意一项

n?1n?N?，设数列{an}中的某一项amm?N?=a1??m?1?a1?q?1? 为bn?a1q????现在只要证明存在正整数m，使得bn?am，即在方程a1qn?1?a1??m?1?a1?q?1?中m有正整数解即可，qn?1qn?1?1?1??m?1??q?1?,m?1??1?q?q2??qn?2，所以

q?1m?2?q?q2??qn?2，若i?1，则q??1，那么b2n?1?b1?a1,b2n?b2?a2，当i?3时，因为a1?b1,a2?b2，只要考虑n?3的情况，因为b3?ai，所以i?3，因此q是正整数，所以m是正整数，因此数列{bn}中任意一项为

bn?a1qn?1?n?N??与数列{an}的第2?q?q2??qn?2项相等，从而结论成立。

?（3）设数列{bn}中有三项bm,bn,bpm?n?p,m,n,p?N成等差数列，则有

???2a1qn?1?a1qm?1?a1qp?1,设n?m?x,p?n?y,x,y?N，所以2???1?qy，令xq3x?1,y?2，则q?2q?1?0,?q?1??q2?q?1??20，因为q?1，所以q?q?1?0，

所以q?5?15?1舍去负值?，即存在q?使得{bn}中有三项?22bm,bm?1,bm?3?m?N??成等差数列。

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2011年高一数学暑假作业（6）答案

4(m?n)314n?11．5； 2.－； 3.11； 4. 5.150; 6. 显然

3mn16119(1?q3)1-q6q?1，所以=?1?q3?q?2，所以{}是首项为1，公比为的等比数

2an1-q1?q11?()52?31. 7. -1.提示：由已知：an+1=an2－1=（an+1）列， 前5项和T5?（an－1），1161?2∴a2=0，a3=－1，a4=0，a5=－1． 8.2600

?1，n?1,?9．an=?14n?2提示：∵an+1=Sn,∴an=Sn-1(n≥2).，相减得,an+1-an=an,∴

?(),n?2.??33?1，n?1,?n-2

(n≥2)，∵a2=S1=×1=,∴当n≥2时，an=· （）. an=?14n?2?(),n?2.??3321。【解析】an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+?+(a2-a1)+a1=2[1+2+?(n-1)]+33=33+n2-n 2a3333?33?n?1设f(n)??n?1，所以n?令f(n)?2?1?0，则f(n)在(33,??)上

nnnn10．

是单调递增，在(0,33)上是递减的，因为n∈N+,所以当n=5或6时f(n)有最小值。 又因为

a553a66321aa21?，??，所以，n的最小值为6? 5566262nn2?7n?18211．an? ； 12.2；

?9n(n?1)9n?1?n?n?1??an?an?1?10n1013．a8、a9最大．提示：设{an}中第n项最大，则有?，即?，

nn?1a?an?1?n?9(n?1)?9(n?2)?10n?1?10n∴8≤n≤9．即a8、a9最大．

14． 4，【解析】本题主要考查了等比数列的前n项和公式与通项及平均值不等式的应用，

17a1[1?(2)n]a1[1?(2)2n]?1(2)2n?17(2)n?161?21?2Tn???na1(2)1?2(2)n?11616nn?[(2)n??17](2)?因为≧8，当且仅当=4，即n=4时取(2)nn1?2(2)(2)第 12 页 共 29 页

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等号，所以当n0=4时Tn有最大值。 15．解：（1）由题意得（a1＋d）（a1＋13d）=（a1＋4d）2， 整理得2a1d＝d2．∵a1＝1，解得（d＝0舍），d＝2． ∴an＝2n－1（n∈N*）．

11111n(an?3)＝2n(n?1)＝2（n－n?1）

（2）bn＝，

111111∴Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝2［（1－2）＋（2－3）＋…＋（n－n?1）］

n118S?t(an?3)总成立.

＝2（1－n?1）＝2(n?1)． （3）假设存在整数t满足n得t?2n2n，而?2(n?1)2(n?1)1适合条件 22n1221的最大值为， ??，即21(n?1)2n??22?22n∴t?16.【解】（1）由Sn?(1??)??an?Sn?1?(1??)??an?1(n?2)， 相减得：an???an??an?1，∴an?(n?2)，∴数列{an}是等比数列 ?an?11??（2）f(?)??1??，∴bn?bn11???1，

1?bn?1bnbn?1∴{1111 }是首项为?2，公差为1的等差数列；∴?2?(n?1)?n?1∴bn?n?1bnb1bn12n?1（3）??1时，an?()，∴Cn?an(11?1)?()n?1n， bn2∴Tn?1?2()?3()???n()1212212n?1， ①

11111Tn?()?2()2?3()3???n()n ② 222221112131n?11n②-①得：Tn?1?()?()?()???()?n()，

2222221112131n?11n1n1n∴Tn?1?()?()?()???()?n()?2(1?())?n()， 222222221n1n所以：Tn?4(1?())?2n()

2217.解：(1)由题意，零m＝2,n－1,可得a3＝2a2－a1＋2＝6

再令m＝3,n＝1，可得a5＝2a3－a1＋8＝20

*

(2)当n∈N 时，由已知(以n＋2代替m)可得a2n＋3＋a2n－1＝2a2n＋1＋8

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于是[a2(n＋1)＋1－a2(n＋1)－1]－(a2n＋1－a2n－1)＝8w_w w. k#s5即 bn＋1－bn＝8 所以{bn}是公差为8的等差数列

(3)由(1)(2)解答可知{bn}是首项为b1＝a3－a1＝6,公差为8的等差数列 则bn＝8n－2，即a2n+=1－a2n－1＝8n－2 另由已知(令m＝1)可得an＝那么an＋1－an＝

－

a2n?1?a2n?12a2n?1?a1-(n－1)2. 28n?2－2n＋1＝－2n＋1＝2n

2于是cn＝2nqn1.

当q＝1时，Sn＝2＋4＋6＋??＋2n＝n(n＋1)

－

当q≠1时，Sn＝2·q0＋4·q1＋6·q2＋??＋2n·qn1.

两边同乘以q，可得qSn＝2·q1＋4·q2＋6·q3＋??＋2n·qn.

－

上述两式相减得 (1－q)Sn＝2(1＋q＋q2＋??＋qn1)－2nqnw_w w. k#s5_u.c o*m

1?qn1?(n?1)qn?nqn?1nqn?1?(n?1)qn?1n

＝2·－2nq＝2·所以Sn＝2·

1?q1?q(q?1)2?n(n?1)(q?1)?综上所述，Sn＝?nqn?1?(n?1)qn?1

2?(q?1)?(q?1)2?18．解：（1）由Sn?2an?3n，得Sn?1?2an?1?3(n?1)(n?2)，则有an?2an?1?3(n?2) ∵

an?32an?1?3?3??2(n?2)，∴数列?an?3?是等比数列．

an?1?3an?1?3 ?a1?3．由（1）知an?3?(a1?3)?2n?1，?an?3?2n?3．

（2）?a1?S1?2a1?3,（3）设存在s，p，r∈N*（s?p?r）使as,ap,ar成等差数列，则2ap?as?ar， 即2(3?2?3)?(3?2?3)?(3?2?3)．?2psrp?1?2s?2r．故2p?s?1?1?2r?s（*）．

p?s?1、2r?s为偶数．而1?2r?s为奇数，所以（*）式不可能∵s，p，r∈N*且s?p?r，?2成立，故不存在满足条件的三项． 19.解：⑴由题可知：x1?x2?2?1?1，所以， 212114x?4x?4y1?y2?f?x1??f?x2??x??4?24x?24x?24x?212?1??24x?4x?44x?4x?41?x?x??4?24x?4x?424x?4x?42121212?

?12??12?点P的纵坐标yP?y1?y21?是定值，问题得证． 24第 14 页 共 29 页

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⑵由⑴可知：对任意自然数m,n，f?由于Sm?f??n??m?n?1??f???恒成立． mm????2?1??2??m?2??m?1??m?故可考虑利用倒写求和的方法．即??f?????f???f???f??，

?m??m??m??m??m??1??2??m?2??m?1??m?Sm?f???f?????f???f???f???m??m??m??m??m?由于：

?m??m?1??m?2??2??1??f???f???f?????f???f??mmm???????m??m???1???m?1??m?1????2??m?2???1???m?2Sm??f???f?????f???f???????f???f????2f???m????m??m???m???m? ??m???m?所以，

11??m?1??2f(1)??3m?1?26

所以，Sm?1?3m?1? 12⑵∵Sm?

1?3m?1?， ∴Sm?1?1?3m?2? 1212amam?1a??1?∴等价于12am? ???0 ①SmSm?13m?13m?2??m显然a?0，因为a?0（m?N），所以，需且只需

依题意，①式应对任意m?N恒成立．

1a??0对任意m?N3m?13m?2恒成立．即：a?记g?m??3m?2对m?N恒成立． 3m?13m?23m?53m?2?9（m?N）．∵ g?m?1??g?m?????0， 3m?13m?23m?1?3m?2??3m?1?55，∴ a?． 22∴g?m?（m?N）的最大值为g?1??20.（1）证明：由题设可知，a2?a1?2?2，a3?a2?2?4，a4?a3?4?8，

a5?a4?4?12，a6?a5?6?18。

从而

a6a53??，所以a4，a5，a6成等比数列。 a5a42（2）解：由题设可得a2k?1?a2k?1?4k,k?N*

所以a2k?1?a1??a2k?1?a2k?1???a2k?1?a2k?3??...?a3?a1? ?4k?4?k?1??...?4?1

?2k?k?1?,k?N*.由a1?0，得a2k?1?2k?k?1? ，从而a2k?a2k?1?2k?2k2. ?n2?1n,n为奇数2??1?1??n?2所以数列?an?的通项公式为an??或写为an?，n?N*。 ?224?n,n为偶数??2第 15 页 共 29 页

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