三角函数公式总结与推导--很全很实用(3)

II. 竞赛知识要点

一、反三角函数.

1. 反三角函数： 反正弦函数y arcsinx是奇函数，故arcsin( x) arcsinx，x 1,1 （一定要注明定义域，若x , ，没有x与y一一对应，故y sinx无反函数） 注：sin(arcsinx) x，x 1,1 ，arcsinx , .

2

2

反余弦函数y arccosx非奇非偶，但有arccos( x) arccos(x) 2k ，x 1,1 .

注：①cos(arccosx) x，x 1,1 ，arccosx 0, .

②y cosx是偶函数，y arccosx非奇非偶，而y sinx和y arcsinx为奇函数. 反正切函数：y arctanx，定义域( , )，值域（ ( , ). 注：tan(arctanx) x，x ( , ).

arctan( x) arctanx，x

2,2

），y natcrax是奇函数，

反余切函数：y arccotx，定义域( , )，值域（

arccot( x) arccot(x) 2k ，x ( , ).

2,2

），y cratocx是非奇非偶.

注：①cot(arccotx) x，x ( , ).

②y arcsinx与y arcsin(1 x)互为奇函数，足arccos(

y arctanx

同理为奇而y

arccosx

与y

arccotx

非奇非偶但满

x) arccosx 2k ,x [ 1,1]arccotx arccot( x) 2k ,x [ 1,1].

正弦、余弦、正切、余切函数的解集：

a的取值范围 解集 ①sin

a

a

的取值范围 解集

x a

的解集 ②cosx a的解集

＞1

arcsina,k Z

k

a

＞1

a

=1 x|x 2k ＜1

a

=1 x|x 2k arccosa,k Z

a

x|x k 1

arcsina,k Z

arctana,k Z

a

＜1 x|x k arccos

a

a,k Z

③tan

x a的解集： x|x k

③cotx的解集： x|x k arccota,k Z

3

二、三角恒等式. 组一

组二

n

cos cos2 cos4 ...cos2

n

sin22

n 1

n 1

sin3 3sin 4sin cos3 4cos 3cos

3

sin

2

sin

2

2

sin sin

2

sin

cos cos

k 1

cos

2

k

cos

2

cos

4

cos

8

cos

2

n

sin 2sin

n

2

n

n

k 0n

cos(x kd) cosx cos(x d) cos(x nd)

sin((n 1)d)cos(x nd)

sind

sin(x kd) sinx sin(x d) sin(x nd)

k 0

sin((n 1)d)sin(x nd)

sind

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