圆锥曲线焦点弦长公式(极坐标参数方程)(11)

圆锥曲线 焦点弦长公式 极坐标参数方程 快 准 稳

1

|MN| |PQ|212222 22 cos2 2 sin2

16 .8 sin22 S

0， ， sin22 [0，1].

16 S ，2 .

9

故四边形PQMN面积的最小值和最大值分别为

16

和2. 9

6.（Ⅰ）解：2p 8,p 4， 抛物线的焦点F的坐标为(0,2)， 准线l的方程为x 2.

（Ⅱ）证明：作AC l于C，FD AC于D. 通径H 2p 8. 则|AB|

H8

,|EF| |FP|cos ,|AD| |AF|cos .

sin2 sin2

|AF| |AC| |AD| p |AF|cos 4. 4

. |AF|

1 cos

|EF| |AF| |AE| |AF|

从而|FP|

1444cos|AB| 21 cos sin2 sin2

|EF|4

. cos sin2

|FP| |FP|cos2 |FP|(1 cos2 )

故|FP| |FP|cos2 为定值，此定值为8.

42

2sin 8. 2

sin

7. 解：（1）根据题意，点M与点F(0,2)的距离与它到直线l:y 2的距离相等，

点M的轨迹是抛物线，点F(0,2)是它的焦点，直线l:y 2是它的准线.

从而

p

2， p 4. 2

所求的点M的轨迹方程是x2 8y.

（2） 两条互相垂直的直线与抛物线均有两个交点， 它们的斜率都存在. 如图，设直线AB的倾斜角为 ， 则直线CD的倾斜角为90 .

圆锥曲线 焦点弦长公式 极坐标参数方程 快 准 稳

抛物线的通径H 2p 8，于是有：

|AB|

H8H8

. ,|CD|

cos2 cos2 cos2(90 )sin2

四边形ACBD的面积

1

|AB| |CD|2188

22

2cos sin 128 .2

sin2 S

2

当且仅当sin2 取得最大值1时，Smin 128，这时2 90 , 45 .

四边形ACBD的最小面积为128.

x2

y2 1中，a ,b 1,c a2 b2 2，8. 解：（1）在椭圆 其焦点为F1( 2,0)、5

F2(2,0).

2

在抛物线y 2x中，p 1， 其准线方程为x

p1 . 22

a21

， a 1,b c2 a2 3. 在双曲线中，c 2,c2y2

1. 所求的双曲线的方程为x 3

2

（2） 两条互相垂直的直线与双曲线均有两个交点，

它们的斜率都存在. 如图，设直线AB的倾斜角为 ，则直线CD的倾斜角为90 .

2b2c

6，离心率e 2. 于是有： 双曲线的通径H

aa|AB|

H6H6

. ,|CD|

1 e2cos2 1 4cos2 1 e2cos2(90 )1 4sin2

四边形ACBD的面积

1

S |AB| |CD|

2166

=18 22

21 4cos 1 4sin

18

. 3 4sin22

1

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