北师大版初一数学(上)讲义--字母表示数(12)

初一数学(上册)讲义

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能力提升4：求代数式的值

用具体的数代替代数式里的字母进行计算，求出代数式的值，是一个由一般到特殊的过程．具体求解代数式值的问题时，对于较简单的问题，代入直接计算并不困难，但对于较复杂的代数式，往往是先化简，然后再求值．下面结合例题初步看一看代数式求值的常用技巧． 【例1】 求下列代数式的值： （1）5ab 4

2

132113

ab 2ab a3b2 2ab a2b 5，其中a 1,b 2； 2424

2

2

2

2

（2）3xy {xyz (2xyz xz) 4xz [3xy (4xyz 5xz 3xyz)]}，其中x 1,y 2,z 3. 分析 上面两题均可直接代入求值，但会很麻烦，容易出错．我们可以利用已经学过的有关概念、

法则，如合并同类项，添、去括号等，先将代数式化简，然后再求值，这样会大大提高运算的速度和结果的准确性．

=0-4a3b2-a2b-5

=-4×13×(- 2)2- 12×(-2)-5 =-16+2-5=-19．

(2)原式=3x2y-xyz+(2xyz-x2z)+4x2z[3x2y-(xyz-5x2z)] =3x2y-xyz+2xyz-x2z+4x2z-3x2y+(xyz-5x2z)

=(3x2y-3x2y)+(-xyz+2xyz+xyz)+(-x2z+4x2z-5x2z) =2xyz-2x2z

=2×(-1)×2×(-3)-2×(-1)2×(-3) =12+6=18．

说明 本例中(1)的化简是添括号，将同类项合并后，再代入求值；(2)是先去括号，然后再添括号，合并化简后，再代入求值．去、添括号时，一定要注意各项符号的变化． 【例2】已知a b 1，求a 3ab b的值．

分析 由已知条件a-b=-1，我们无法求出a，b的确定值，因此本题不能像例1那样，代入a，b的值求代数式的值．下面给出本题的五种解法．

解法1 由a-b=-1得a=b-1，代入所求代数式化简 a3+3ab-b3=(b-1)3+3(b-1)b-b3

=b3-3b2+3b-1+3b2-3b-b3 =-1．

说明 这是用代入消元法消去a化简求值的． 解法2 因为a-b=-1，所以

原式=(a3-b3)+3ab=(a-b)(a2+ab+b2)+3ab =-1×(a2+ab+b2)+3ab=-a2-ab-b2+3ab =-(a2-2ab+b2)=-(a-b)2 =-(-1)2=-1．

说明 这种解法是利用了乘法公式，将原式化简求值的．解法3 因为a-b=-1，所以 原式=a3-3ab(-1)-b3=a3-3ab(a-b)-b3 =a3-3a2b+3ab2-b3=(a-b)3 =(-1)3=-1．

说明 这种解法巧妙地利用了-1=a-b，并将3ab化为-3ab(-1)=-3ab(a-b)，从而凑成了(a-b)3． 解法4 因为a-b=-1，所以(a-b)3=(-1)3=1， 即 a3+3ab2-3a2b-b3=-1，a3-b3-3ab(a-b)=-1， 所以 a3-b3-3ab(-1)=-1， 即 a3-b3+3ab=-1．

说明 这种解法是由a-b=-1，演绎推理出所求代数式的值． 解法 5

a3+3ab-b3=a3+3ab2-3a2b-b3-3ab2+3a2b+3ab =(a-b)3+3ab(a-b)+3ab =(-1)3+3ab(-1)+3ab =-1．

说明 这种解法是添项，凑出(a-b)3，然后化简求值．通过这个例题可以看出，求代数式的值的方法是很灵活的，需要认真思考，才能找到简便的算法．在本例的各种解法中，用到了几个常用的乘法公式，现总结如下：

(a+b)2=a2+2ab+b2； (a-b)2=a2-2ab+b2； (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3； (a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3 ； a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；

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