2011年卓越联盟自主招生数学试题及答案(全)(3)

14.一袋中有a个白球和b个黑球.从中任取一球,如果取出白球,则把它放回袋中;如果取出黑球,则该黑球不再放回,另补一个白球放到袋中.在重复n次这样的操作后,记袋中白球的个数为Xn. (1)求EX1;

(2)设P(Xn a k) pk,求P(Xn 1 a k),k 0,1, ,b; (3)证明:EXn 1 (1

15.设f(x) xlnx. (1)求f (x);

(2)设0 a b,求常数c,使得

1

)EXn 1. a b

1b

|lnx c|dx取得最小值;

b a a

(3)记(2)中的最小值为Ma,b,证明Ma,b ln2.

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