2011年卓越联盟自主招生数学试题及答案(全)(6)

因为4k2 4

1 10 10 18（当且仅当k2 1时取等号） 2k11116

],也所以4( ) [,2]

1824k2 4 1094k2 42 102kk

16

所以综上所述,S四边形PMQN的面积的最小值为,最大值为2.

9

所以,

1

(0,

a

;也可能为a 1个a b

baba2 ab b

(即取出的是黑球),概率为,故EX1 a . (a 1)

a ba ba ba b

a

(2)首先,P(Xn 1 a 0) P0 ;k 1时,第n 1次取出来有a k个白球的可能性有两种;

a b

第n次袋中有a k个白球,显然每次取出球后,球的总数保持不变,即a b个白球(故此时黑球有

a k

; b k个),第n 1次取出来的也是白球,这种情况发生的概率为Pk

a b

第n次袋中有a k 1个白球,第n 1次取出来的是黑球,由于每次球的总数为a b个,故此时

b k 1

黑球的个数为b k 1.这种情况发生的概率为Pk 1 (k 1).

a b

a kb k 1

故P(Xn 1 a k) Pk Pk 1 (k 1).

a ba b

(3)第n 1次白球的个数的数学期望分为两类:

14.【解】(1)n 1时,袋中的白球的个数可能为a个(即取出的是白球),概率为

第n次白球个数的数学期望,即EXn.由于白球和黑球的总个数为a b,第n 1次取出来的是白球,这种情况发生的概率是白球的个数是EXn 1.

EXna b EXn

;第n 1次取出来的是黑球,这种情况发生的概率是,此时a ba b

EXna b EXn(EXn)2EXn

故EXn 1 EXn (EXn 1) (1 )(EXn 1)

a ba ba ba b(EXn)2(EXn)2EXn)1

EXn 1 (1 )EXn 1

a ba ba ba b

1

15.(1)f (x) lnx x lnx 1;

x

(2)若c lna,则|lnx c| lnx c,显然,当c lna,lnx c取最小; 若c lnb,则|lnx c| c lnx,当c lnb,c lnx取最小.

故lna c lnb.

ecb1b1

|lnx c|dx [(lnx c)dx (c lnx)dx] c aaeb ab a

ecb1

{ [(lnx 1) (c 1)]dx c[(c 1) (lnx 1)]dx}

eb aa

c

由(1)知 [(lnx 1) (c 1)]dx xlnx|ea (c 1)(e a)

aec

c

b

c

e

[(c 1) (lnx 1)]dx (c 1)(ec a) xlnx|b

ec

所以,

1b1

|lnx c|dx ( alna blnb 2ec a b ac bc) ( ) b aab a

记g(c) 2ec (a b)c alna blnb a b, 则令g (c) 2ec a b 0,得c 即c

a b

2

a b1b

时,|lnx C|dx取最小值. ab a2a b1a b

(3)将c 代入( )式右边,Ma,b [ alna blnb (a b)ln] ln2

b a22

a b

等价于(a b)ln alna blnb (b a)ln2 (a b) ln(a b) alna blnb 2bln2

2

ba

aln(a b) alna bln(a b) blnb 2bln2 aln(1 ) bln( 1) 2bln2.

ab

aab

由于0 a b, 1 2时,bln(1 ) bln2.所以下面只须证明aln(1 ) bln2即可.

bbababa

又aln(1 ) bln2 ln(1 ) ln2.令 t (0,1),

ababab111

则ln(1 ) tln(1 ) ln(1 )t,注意到函数ln(1 )t是单调递增的,且t 1. battt

11

所以ln(1 )t ln(1 )1 ln2.得证.

t1

天津大学等九所高校“卓越联盟”自主招生 学业水平测试试卷分析

对于数理知识测试中数学部分，专家评论道：数学考题考察的是高中数学的基本知识、

基本概念和基本技能，但只是考察的侧重点与高考不同，试题重点考察了学生的空间想象能力，要求学生能将“数”与“形”相结合来分析和解决问题。该份试卷从工科院校的特点出发，考察了学生应用基础知识求解几何与分析方面的（最大值或最小值）优化问题,能够延伸性地考察学生的数学能力。

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