2011年卓越联盟自主招生数学试题及答案(全)(4)

参考答案:

一.选择题1.B2.D3.B4.C5.A6.D7.C8.B9.B10.D 二.解答题

11.【解】(1)证:由a1 a,a2 b,2an 2 an 1 an,得2(an 2 an 1) (an 1 an).

11

令bn an 1 an,则bn 1 bn,所以{bn}是以b a为首项,以 为公比的等比数列;

22

1

(2)由(1) 可知bn an 1 an (b a)( )n 1(n N*),

211 ( n

,即a a 2(b a)[1 ( 1)n], 所以由累加法得an 1 a1 (b a)n 11321 ( 2

21

也所以有an a (b a)[1 ( )n 1](n 2),n 1时,a1 a也适合该式;

3221

所以an a (b a)[1 ( n 1](n N*)

32

1

1 ( )n

2 na 2(b a)n 4(b a) 4(b a)( 1n 也所以a1 a2 an na (b a)[n

339921 2

24

由于lim(a1 a2 an) 4,所以a (b a) 0, (b a) 4,解得a 6,b 3.

n 39

12.【解】(1)过B作直线BE AC,交AD延长线于E,如图右. BDAB

2, CDAC

DEBEBD

也所以有 2,即BE 2AC,AE 3BD.

ADACDC

在 ABE中,有AE2 AB2 BE2 2AB BEcos EBA.

所以,

即(3AD)2 (2AC)2 (2AC)2 2(2AC 2AC) cosA

816

所以,9(kAC)2 8AC2 8AC2 cosA,即k2 (1 cosA) (0,)

99

4

所以0 k .

31

(2)因为S ABC AB AC sinA AC2sinA 1

2

在 ABC中,有BC2 AB2 AC2 2AB ACcosA 5AC2 4AC2cosA 记y

5 4cosA

sinA

5 4cosA

,则ysinA 4cosA A ) 5

sinA

当sin(A ) 1时

5 y 3 此时y取最小值,此时cosA 故当k

3.

5

时,BC

x2y2

13.【解】设椭圆方程为2 2 1(a b 0),

因为它与直线y x只有一个公共点,

ab x2y2

1,

所以方程组 a2b2只有一解,

整理得(a2 b2)x2 2x 3a2 a2b2 0.

y x

所以 ( 2)2 4(a2 b2(3a2 a2b2) 0,得a2 b2 3.

又因为焦点为F1( 1,0),F2(1,0),所以a2 b2 1,联立上式解得a2 2,b2 1

x2

所以椭圆方程为 y2 1.

2

(2)若PQ斜率不存在(或为0)时,

则S四边形PMQN 若PQ斜率存在时,设为k(k 0),则MN为

|PQ| |MN|

2

2.

1. k

所以直线PQ方程为y kx k.设PQ与椭圆交点坐标为P(x1,y1),Q(x2,y2)

x22

y 1,

联立方程 2化简得(2k2 1)x2 4k2x 2k2 2 0.

y kx k.

4k22k2 2

则x1 x2 2

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