高考数学第一轮复习资料(教师版)[1]

高考数学第一轮复习资料（教师版）

第一章集合

第一节集合的含义、表示及基本关系

A组

1．已知A＝{1,2}，B＝{x|x∈A}，则集合A与B的关系为________．解析：由集合B＝{x|x∈A}知，B＝{1,2}．答案：A＝B

2．若?{x|x2≤a，a∈R}，则实数a的取值范围是________．

解析：由题意知，x2≤a有解，故a≥0.答案：a≥0

3．已知集合A＝{y|y＝x2－2x－1，x∈R}，集合B＝{x|－2≤x<8}，则集合A与B的关系是________．

解析：y＝x2－2x－1＝(x－1)2－2≥－2，∴A＝{y|y≥－2}，∴B A.

答案：B A

4．(2009年高考广东卷改编)已知全集U＝R，则正确表示集合M＝{－1,0,1}和N ＝{x|x2＋x＝0}关系的韦恩(Venn)图是________．

解析：由N={x|x2+x=0}，得N={-1,0}，则N M.答案：②

5．(2010年苏、锡、常、镇四市调查)已知集合A＝{x|x>5}，集合B＝{x|x>a}，若命题“x∈A”是命题“x∈B”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是________．

解析：命题“x∈A”是命题“x∈B”的充分不必要条件，∴A B，∴a<5.

答案：a<5

6．(原创题)已知m∈A，n∈B，且集合A＝{x|x＝2a，a∈Z}，B＝{x|x＝2a＋1，a∈Z}，又C＝{x|x＝4a＋1，a∈Z}，判断m＋n属于哪一个集合？

解：∵m∈A，∴设m＝2a1，a1∈Z，又∵n∈B，∴设n＝2a2＋1，a2∈Z，∴m＋n＝2(a1＋a2)＋1，而a1＋a2∈Z，∴m＋n∈B.

B组

1．设a，b都是非零实数，y＝

a

|a|＋

b

|b|＋

ab

|ab|可能取的值组成的集合是________．解析：分四种情况：(1)a>0且b>0；(2)a>0且b<0；(3)a<0且b>0；(4)a<0且b<0，讨论得y＝3或y＝－1.答案：{3，－1}

2．已知集合A＝{－1,3,2m－1}，集合B＝{3，m2}．若B?A，则实数m＝________.

解析：∵B?A，显然m2≠－1且m2≠3，故m2＝2m－1，即(m－1)2＝0，∴m ＝1.答案：1

3．设P，Q为两个非空实数集合，定义集合P＋Q＝{a＋b|a∈P，b∈Q}，若P ＝{0,2,5}，Q＝{1,2,6}，则P＋Q中元素的个数是________个．

解析：依次分别取a ＝0,2,5；b ＝1,2,6，并分别求和，注意到集合元素的互异性，∴P ＋Q ＝{1,2,6,3,4,8,7,11}．答案：8

4．已知集合M ＝{x |x 2＝1}，集合N ＝{x |ax ＝1}，若N M ，那么a 的值是________．

解析：M ＝{x |x ＝1或x ＝－1}，N M ，所以N ＝?时，a ＝0；当a ≠0时，x ＝1a

＝1或－1，∴a ＝1或－1.答案：0,1，－1 5．满足{1}A ?{1,2,3}的集合A 的个数是________个．

解析：A 中一定有元素1，所以A 有{1,2}，{1,3}，{1,2,3}．答案：3

6．已知集合A ＝{x |x ＝a ＋16，a ∈Z }，B ＝{x |x ＝b 2－13，b ∈Z }，C ＝{x |x ＝c 2＋16

，c ∈Z }，则A 、B 、C 之间的关系是________．

解析：用列举法寻找规律．答案：A B ＝C

7．集合A ＝{x ||x |≤4，x ∈R }，B ＝{x |x 5”的________．

解析：结合数轴若A ?B ?a ≥4，故“A ?B ”是“a >5”的必要但不充分条件．答案：必要不充分条件

8．(2010年江苏启东模拟)设集合M ＝{m |m ＝2n ，n ∈N ，且m <500}，则M 中所有元素的和为________．

解析：∵2n <500，∴n ＝0,1,2,3,4,5,6,7,8.∴M 中所有元素的和S ＝1＋2＋22＋…＋28＝511.答案：511

9．(2009年高考北京卷)设A 是整数集的一个非空子集，对于k ∈A ，如果k －1?A ，且k ＋1?A ，那么称k 是A 的一个“孤立元”．给定S ＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有________个．

解析：依题可知，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”，这三个元素一定是相连的三个数．故这样的集合共有6个．答案：6

10．已知A ＝{x ，xy ，lg(xy )}，B ＝{0，|x |，y }，且A ＝B ，试求x ，y 的值．

解：由lg(xy )知，xy >0，故x ≠0，xy ≠0，于是由A ＝B 得lg(xy )＝0，xy ＝1.

∴A ＝{x,1,0}，B ＝{0，|x |，1x

}． 于是必有|x |＝1，1x

＝x ≠1，故x ＝－1，从而y ＝－1. 11．已知集合A ＝{x |x 2－3x －10≤0}，

(1)若B ?A ，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，求实数m 的取值范围；

(2)若A ?B ，B ＝{x |m －6≤x ≤2m －1}，求实数m 的取值范围；

(3)若A ＝B ，B ＝{x |m －6≤x ≤2m －1}，求实数m 的取值范围．

解：由A ＝{x |x 2－3x －10≤0}，得A ＝{x |－2≤x ≤5}，

(1)∵B ?A ，∴①若B ＝?，则m ＋1>2m －1，即m <2，此时满足B ?A .

②若B ≠?，则????? m ＋1≤2m －1，－2≤m ＋1，

2m －1≤5.解得2≤m ≤3.

由①②得，m 的取值范围是(－∞，3]．

(2)若A ?B ，则依题意应有????? 2m －1>m －6，m －6≤－2，

2m －1≥5.解得????? m >－5，m ≤4，m ≥3.故3≤m ≤4，

∴m 的取值范围是[3,4]．

(3)若A ＝B ，则必有?

????

m －6＝－2，2m －1＝5，解得m ∈?.，即不存在m 值使得A ＝B . 12．已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2≤0}，B ＝{x |x 2－(a ＋1)x ＋a ≤0}．

(1)若A 是B 的真子集，求a 的取值范围；

(2)若B 是A 的子集，求a 的取值范围；

(3)若A ＝B ，求a 的取值范围．

解：由x 2－3x ＋2≤0，即(x －1)(x －2)≤0，得1≤x ≤2，故A ＝{x |1≤x ≤2}， 而集合B ＝{x |(x －1)(x －a )≤0}，

(1)若A 是B 的真子集，即A B ，则此时B ＝{x |1≤x ≤ a }，故a >2.

(2)若B 是A 的子集，即B ?A ，由数轴可知1≤a ≤

2.

(3)若A =B ，则必有a =2

第二节 集合的基本运算

A 组

1．(2009年高考浙江卷改编)设U ＝R ，A ＝{x |x >0}，B ＝{x |x >1}，则A ∩?U B ＝____.

解析：?U B ＝{x |x ≤1}，∴A ∩?U B ＝{x |0

2．(2009年高考全国卷Ⅰ改编)设集合A ＝{4,5,7,9}，B ＝{3,4,7,8,9}，全集U ＝A ∪B ，则集合?U (A ∩B )中的元素共有________个．

解析：A ∩B ＝{4,7,9}，A ∪B ＝{3,4,5,7,8,9}，?U (A ∩B )＝{3,5,8}．答案：3

3．已知集合M ＝{0,1,2}，N ＝{x |x ＝2a ，a ∈M }，则集合M ∩N ＝________.

解析：由题意知，N ＝{0,2,4}，故M ∩N ＝{0,2}．答案：{0,2}

4．(原创题)设A ，B 是非空集合，定义A ?B ＝{x |x ∈A ∪B 且x ?A ∩B }，已知A ＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{y |y ≥0}，则A ?B ＝________.

解析：A ∪B ＝[0，＋∞)，A ∩B ＝[0,2]，所以A ?B ＝(2，＋∞)．

答案：(2，＋∞)

5．(2009年高考湖南卷)某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为________．

解析：设两项运动都喜欢的人数为x ，画出韦恩图

得到方程15-x +x +10-x +8=30x =3，∴喜爱篮球运动但

不喜爱乒乓球运动的人数为15-3=12(人)．答案：12

6．(2010年浙江嘉兴质检)已知集合A ＝{x |x >1}，集

合B ＝{x |m ≤x ≤m ＋3}．

(1)当m ＝－1时，求A ∩B ，A ∪B ；

(2)若B ?A ，求m 的取值范围．

解：(1)当m ＝－1时，B ＝{x |－1≤x ≤2}，∴A ∩B ＝{x |1

{x |x ≥－1}．(2)若B ?A ，则m >1，即m 的取值范围为(1，＋∞)

B 组

1．若集合M ＝{x ∈R |－3

解析：因为集合N ＝{－1,0,1,2}，所以M ∩N ＝{－1,0}．答案：{－1,0}

2．已知全集U ＝{－1,0,1,2}，集合A ＝{－1,2}，B ＝{0,2}，则(?U A )∩B ＝________.

解析：?U A ＝{0,1}，故(?U A )∩B ＝{0}．答案：{0}

3．(2010年济南市高三模拟)若全集U ＝R ，集合M ＝{x |－2≤x ≤2}，N ＝{x |x 2－3x ≤0}，则M ∩(?U N )＝________.

解析：根据已知得M ∩(?U N )＝{x |－2≤x ≤2}∩{x |x <0或x >3}＝{x |－2≤x <0}．答案：{x |－2≤x <0}

4．集合A ＝{3，log 2a }，B ＝{a ，b }，若A ∩B ＝{2}，则A ∪B ＝________.

解析：由A ∩B ＝{2}得log 2a ＝2，∴a ＝4，从而b ＝2，∴A ∪B ＝{2,3,4}． 答案：{2,3,4}

5．(2009年高考江西卷改编)已知全集U ＝A ∪B 中有m 个元素，(?U A )∪(?U B )中有n 个元素．若A ∩B 非空，则A ∩B 的元素个数为________．

解析：U ＝A ∪B 中有m 个元素，

∵(?U A )∪(?U B )＝?U (A ∩B )中有n 个元素，∴A ∩B 中有

m －n 个元素．答案：m －n

6．(2009年高考重庆卷)设U ＝{n |n 是小于9的正整数}，A

＝{n ∈U |n 是奇数}，B ＝{n ∈U |n 是3的倍数}，则?U (A ∪B )

＝________.

解析：U ＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，A ＝{1,3,5,7}，B ＝{3,6}，∴A ∪B ＝{1,3,5,6,7}， 得?U (A ∪B )＝{2,4,8}．答案：{2,4,8}

7．定义A ?B ＝{z |z ＝xy ＋x y

，x ∈A ，y ∈B }．设集合A ＝{0,2}，B ＝{1,2}，C ＝{1}，则集合(A ?B )?C 的所有元素之和为________．

解析：由题意可求(A ?B )中所含的元素有0,4,5，则(A ?B )?C 中所含的元素有0,8,10，故所有元素之和为18.答案：18

8．若集合{(x ，y )|x ＋y －2＝0且x －2y ＋4＝0} {(x ，y )|y ＝3x ＋b }，则b ＝________.

解析：由????? x ＋y －2＝0，x －2y ＋4＝0.??

????

x ＝0，y ＝2.点(0,2)在y ＝3x ＋b 上，∴b ＝2. 9．设全集I ＝{2,3，a 2＋2a －3}，A ＝{2，|a ＋1|}，?I A ＝{5}，M ＝{x |x ＝log 2|a |}，则集合M 的所有子集是________．

解析：∵A ∪(?I A )＝I ，∴{2,3，a 2＋2a －3}＝{2,5，|a ＋1|}，∴|a ＋1|＝3，且a 2＋2a －3＝5，解得a ＝－4或a ＝2，∴M ＝{log 22，log 2|－4|}＝{1,2}．

答案：?，{1}，{2}，{1,2}

10．设集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x ＋(a 2－5)＝0}．

(1)若A ∩B ＝{2}，求实数a 的值；

(2)若A ∪B ＝A ，求实数a 的取值范围．

解：由x 2－3x ＋2＝0得x ＝1或x ＝2，故集合A ＝{1,2}．

(1)∵A ∩B ＝{2}，∴2∈B ，代入B 中的方程，得a 2＋4a ＋3＝0?a ＝－1或a ＝－3；当a ＝－1时，B ＝{x |x 2－4＝0}＝{－2,2}，满足条件；当a ＝－3时，B ＝{x |x 2－4x ＋4＝0}＝{2}，满足条件；综上，a 的值为－1或－3.

(2)对于集合B ，Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－5)＝8(a ＋3)．∵A ∪B ＝A ，∴B ?A ， ①当Δ<0，即a <－3时，B ＝?满足条件；②当Δ＝0，即a ＝－3时，B ＝{2}满足条件；③当Δ>0，即a >－3时，B ＝A ＝{1,2}才能满足条件，则由根与系数的关系得

????? 1＋2＝－2(a ＋1)1×2＝a 2－5??????

a ＝－52，a 2＝7，矛盾.综上，a 的取值范围是a ≤－3. 11．已知函数f (x )＝ 6x ＋1

－1的定义域为集合A ，函数g (x )＝lg(－x 2＋2x ＋m )的定义域为集合B .

(1)当m ＝3时，求A ∩(?R B )；

(2)若A ∩B ＝{x |－1

解：A ＝{x |－1

(1)当m ＝3时，B ＝{x |－1

∴A ∩(?R B )＝{x |3≤x ≤5}．

(2)∵A ＝{x |－1

∴有－42＋2×4＋m ＝0，解得m ＝8，此时B ＝{x |－2

12．已知集合A ＝{x ∈R |ax 2－3x ＋2＝0}．

(1)若A ＝?，求实数a 的取值范围；

(2)若A 是单元素集，求a 的值及集合A ；

(3)求集合M ＝{a ∈R |A ≠?}．

解：(1)A 是空集，即方程ax 2－3x ＋2＝0无解．

若a ＝0，方程有一解x ＝23

，不合题意． 若a ≠0，要方程ax 2－3x ＋2＝0无解，则Δ＝9－8a <0，则a >98

. 综上可知，若A ＝?，则a 的取值范围应为a >98

. (2)当a ＝0时，方程ax 2－3x ＋2＝0只有一根x ＝23，A ＝{23

}符合题意． 当a ≠0时，则Δ＝9－8a ＝0，即a ＝98

时， 方程有两个相等的实数根x ＝43，则A ＝{43

}． 综上可知，当a ＝0时，A ＝{23}；当a ＝98时，A ＝{43

}． (3)当a ＝0时，A ＝{23

}≠?.当a ≠0时，要使方程有实数根， 则Δ＝9－8a ≥0，即a ≤98

. 综上可知，a 的取值范围是a ≤98，即M ＝{a ∈R |A ≠?}＝{a |a ≤98

}

第二章 函数

第一节 对函数的进一步认识

A 组

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