高考数学第一轮复习资料(教师版)[1](2)

1．(2009年高考江西卷改编)函数y ＝－x 2－3x ＋4x

的定义域为________． 解析：?

???? －x 2－3x ＋4≥0，x ≠0，?x ∈[－4,0)∪(0,1] 答案：[－4,0)∪(0,1]

2．(2010年绍兴第一次质检)如图，函数f (x )的图象是曲线

段OAB ，其中点O ，A ，B 的坐标分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，

则f (1f (3)

)的值等于________． 解析：由图象知f (3)＝1，f (1f (3)

)＝f (1)＝2.答案：2 3．(2009年高考北京卷)已知函数f (x )＝?

???? 3x ，x ≤1，－x ，x >1.若f (x )＝2，则x ＝________. 解析：依题意得x ≤1时，3x ＝2，∴x ＝log 32；

当x >1时，－x ＝2，x ＝－2(舍去)．故x ＝log 32.答案：log 32

4．(2010年黄冈市高三质检)函数f ：{1，2}→{1，2}满

足f [f (x )]>1的这样的函数个数有________个．

解析：如图．答案：1

5．(原创题)由等式x 3＋a 1x 2＋a 2x ＋a 3＝(x ＋1)3＋b 1(x ＋1)2＋

b 2(x ＋1)＋b 3定义一个映射f (a 1，a 2，a 3)＝(b 1，b 2，b 3)，则

f (2,1，－1)＝________.

解析：由题意知x 3＋2x 2＋x －1＝(x ＋1)3＋b 1(x ＋1)2＋b 2(x ＋1)＋b 3， 令x ＝－1得：－1＝b 3；

再令x ＝0与x ＝1得?

???? －1＝1＋b 1＋b 2＋b 33＝8＋4b 1＋2b 2＋b 3， 解得b 1＝－1，b 2＝0.

答案：(－1,0，－1)

6．已知函数f (x )＝?????

1＋1x (x >1)，x 2＋1 (－1≤x ≤1)，2x ＋3 (x <－1).

(1)求f (1－12－1

)，f {f [f (－2)]}的值；(2)求f (3x －1)；(3)若f (a )＝32

， 求a . 解：f (x )为分段函数，应分段求解． (1)∵1－12－1＝1－(2＋1)＝－2<－1，∴f (－2)＝－22＋3，

又∵f (－2)＝－1，f [f (－2)]＝f (－1)＝2，∴f {f [f (－2)]}＝1＋12＝32

. (2)若3x －1>1，即x >23，f (3x －1)＝1＋13x －1＝3x 3x －1

； 若－1≤3x －1≤1，即0≤x ≤32

，f (3x －1)＝(3x －1)2＋1＝9x 2－6x ＋2； 若3x －1<－1，即x <0，f (3x －1)＝2(3x －1)＋3＝6x ＋1.

∴f (3x －1)＝???

3x 3x －1 (x >23)，9x 2－6x ＋2 (0≤x ≤23)，6x ＋1 (x <0).

(3)∵f (a )＝32

，∴a >1或－1≤a ≤1. 当a >1时，有1＋1a ＝32

，∴a ＝2； 当－1≤a ≤1时，a 2＋1＝32，∴a ＝±22

. ∴a ＝2或±22

. B 组

1．(2010年广东江门质检)函数y ＝13x －2

＋lg(2x －1)的定义域是________． 解析：由3x －2>0,2x －1>0，得x >23.答案：{x |x >23

} 2．(2010年山东枣庄模拟)函数f (x )＝????? －2x ＋1，(x <－1)，－3，(－1≤x ≤2)，

2x －1，(x >2)，则f (f (f (32

)＋5))＝_. 解析：∵－1≤32≤2，∴f (32

)＋5＝－3＋5＝2，∵－1≤2≤2，∴f (2)＝－3， ∴f (－3)＝(－2)×(－3)＋1＝7.答案：7

3．定义在区间(－1,1)上的函数f (x )满足2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)，则f (x )的解析式为________．

解析：∵对任意的x ∈(－1,1)，有－x ∈(－1,1)，

由2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)，①

由2f (－x )－f (x )＝lg(－x ＋1)，②

①×2＋②消去f (－x )，得3f (x )＝2lg(x ＋1)＋lg(－x ＋1)， ∴f (x )＝23lg(x ＋1)＋13

lg(1－x )，(－1

lg(1－x )，(－1

解析：由f (x ＋1)＝f (x )＋1可得f (1)＝f (0)＋1，f (2)＝f (0)＋2，f (3)＝f (0)＋3，…本题中如果f (0)＝0，那么y ＝f (x )和y ＝x 有无数个交点；若f (0)≠0，则y ＝f (x )和y ＝x 有零个交点．答案：0或无数

5．设函数f (x )＝?

????

2 (x ＞0)x 2＋bx ＋c (x ≤0)，若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，则f (x )的解析式为f (x )＝________，关于x 的方程f (x )＝x 的解的个数为________个．

解析：由题意得 ????? 16－4b ＋c ＝c 4－2b ＋c ＝－2

?????

b ＝4

c ＝2，

∴f (x )＝?????

2 (x ＞0)x 2＋4x ＋2 (x ≤0). 由数形结合得f (x )＝x 的解的个数有3个．

答案：?????

2 (x ＞0)x 2＋4x ＋2 (x ≤0)

3 6．设函数f (x )＝log a x (a ＞0，a ≠1)，函数g (x )＝－x 2＋bx ＋c ，若f (2＋2)－f (2

＋1)＝12

，g (x )的图象过点A (4，－5)及B (－2，－5)，则a ＝__________，函数f [g (x )]的定义域为__________．

答案：2 (－1,3)

7．(2009年高考天津卷改编)设函数f (x )＝?

???? x 2－4x ＋6，x ≥0x ＋6，x <0，则不等式f (x )>f (1)的解集是________．

解析：由已知，函数先增后减再增，当x ≥0，f (x )>f (1)＝3时，令f (x )＝3， 解得x ＝1，x ＝3.故f (x )>f (1)的解集为0≤x <1或x >3.

当x <0，x ＋6＝3时，x ＝－3，故f (x )>f (1)＝3，解得－33.

综上，f (x )>f (1)的解集为{x |－33}．答案：{x |－33}

8．(2009年高考山东卷)定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝?

????

log 2(4－x )， x ≤0，f (x －1)－f (x －2)， x ＞0，则f (3)的值为________． 解析：∵f (3)＝f (2)－f (1)，又f (2)＝f (1)－f (0)，∴f (3)＝－f (0)，∵f (0)＝log 24

＝2，∴f (3)＝－2.答案：－2

9．有一个有进水管和出水管的容器，每单位时间进水量是一定的，设从某时刻开始，5分钟内只进水，不出水，在随后的15分钟内既进水，又出水，得到时间x 与容器中的水量y 之间关系如图．再随后，只放水不进水，水放完为止，则这段时间内(即x ≥20)，y 与x 之间函数的函数关系是________．

解析：设进水速度为a 1升/分钟，出水速度为a 2升/分钟，则由题意得????? 5a 1＝205a 1＋15(a 1－a 2)＝35，得?????

a 1＝4a 2＝3，则y ＝35－3(x －20)，得y ＝－3x ＋95，又因为水放完为止，所以时间为x ≤953

，又知x ≥20，故解析式为y ＝－3x ＋95(20≤x ≤953)．答案：y ＝－3x ＋95(20≤x ≤953

)

10．函数f (x )＝(1－a 2)x 2＋3(1－a )x ＋6.

(1)若f (x )的定义域为R ，求实数a 的取值范围；

(2)若f (x )的定义域为[－2,1]，求实数a 的值．

解：(1)①若1－a 2＝0，即a ＝±1，

(ⅰ)若a ＝1时，f (x )＝6，定义域为R ，符合题意；

(ⅱ)当a ＝－1时，f (x )＝6x ＋6，定义域为[－1，＋∞)，不合题意．

②若1－a 2≠0，则g (x )＝(1－a 2)x 2＋3(1－a )x ＋6为二次函数．

由题意知g (x )≥0对x ∈R 恒成立，

∴????? 1－a 2>0，Δ≤0，∴?

???? －1

≤a ≤1. (2)由题意知，不等式(1－a 2)x 2＋3(1－a )x ＋6≥0的解集为[－2,1]，显然1－

a 2≠0且－2,1是方程(1－a 2)x 2＋3(1－a )x ＋6＝0的两个根．

∴????? 1－a 2<0，

－2＋1＝3(1

－a )a 2－1，－2＝61－a 2，Δ＝[3(1－a )]2－24(1－a 2)>0∴????? a <－1或a >1，a ＝2，a ＝±2.a <－511或a >1∴a ＝2.

11．已知f (x ＋2)＝f (x )(x ∈R )，并且当x ∈[－1,1]时，f (x )＝－x 2＋1，求当x ∈[2k －1,2k ＋1](k ∈Z )时、f (x )的解析式．

解：由f (x ＋2)＝f (x )，可推知f (x )是以2为周期的周期函数．当x ∈[2k －1,2k ＋1]时，2k －1≤x ≤2k ＋1，－1≤x －2k ≤1.∴f (x －2k )＝－(x －2k )2＋1.

又f (x )＝f (x －2)＝f (x －4)＝…＝f (x －2k )，

∴f (x )＝－(x －2k )2＋1，x ∈[2k －1,2k ＋1]，k ∈Z .

12．在2008年11月4日珠海航展上，中国自主研制的ARJ 21支线客机备受关注，接到了包括美国在内的多国订单．某工厂有216名工人接受了生产1000件该支线客机某零部件的总任务，已知每件零件由4个C 型装置和3个H 型装置配套组成，每个工人每小时能加工6个C 型装置或3个H 型装置．现将工人分成两组同时开始加工，每组分别加工一种装置，设加工C 型装置的工人有x 位，他们加工完C 型装置所需时间为g (x )，其余工人加工完H 型装置所需时间为h (x )．(单位：h ，时间可不为整数)

(1)写出g (x )，h (x )的解析式；

(2)写出这216名工人完成总任务的时间f (x )的解析式；

(3)应怎样分组，才能使完成总任务的时间最少？

解：(1)g (x )＝20003x (0

20003x (0

第二节 函数的单调性

A 组

1．(2009年高考福建卷改编)下列函数f (x )中，满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1f (x 2)”的是________．

①f (x )＝1x

②f (x )＝(x －1)2 ③f (x )＝e x ④f (x )＝ln(x ＋1) 解析：∵对任意的x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1

时，都有f (x 1)>f (x 2)，∴f (x )在(0，＋∞)上为减函数．答

案：①

2．函数f (x )(x ∈R )的图象如右图所示，则函数g (x )

＝f (log a x )(0

解析：∵0

]时，g (x )为减函数． 由0≤log a x ≤12 a ≤x ≤1.答案：[a ，1](或(a ，1)) 3．函数y ＝x －4＋15－3x 的值域是________．

解析：令x ＝4＋sin 2α，α∈[0，π2]，y ＝sin α＋3cos α＝2sin(α＋π3

)，∴1≤y ≤2. 答案：[1,2]

4．已知函数f (x )＝|e x ＋a e x |(a ∈R )在区间[0,1]上单调递增，则实数a 的取值范围__． 解析：当a <0，且e x ＋a e x ≥0时，只需满足e 0＋a e 0≥0即可，则－1≤a <0；当a ＝0时，f (x )＝|e x |＝e x 符合题意；当a >0时，f (x )＝e x ＋a e x ，则满足f ′(x )＝e x －a e x ≥0在x ∈[0,1]上恒成立．只需满足a ≤(e 2x )min 成立即可，故a ≤1，综上－1≤a ≤1.

答案：－1≤a ≤1

5．(原创题)如果对于函数f (x )定义域内任意的x ，都有f (x )≥M (M 为常数)，称M 为f (x )的下界，下界M 中的最大值叫做f (x )的下确界，下列函数中，有下确界的所有函数是________．

①f (x )＝sin x ；②f (x )＝lg x ；③f (x )＝e x ；④f (x )＝????? 1 (x >0)0 (x ＝0)－1 (x <－1)

解析：∵sin x ≥－1，∴f (x )＝sin x 的下确界为－1，即f (x )＝sin x 是有下确界的函数；∵f (x )＝lg x 的值域为(－∞，＋∞)，∴f (x )＝lg x 没有下确界；∴f (x )＝e x 的值域为(0，＋∞)，∴f (x )＝e x 的下确界为0，即f (x )＝e x 是有下确界的函数；

∵f (x )＝????? 1 (x >0)0 (x ＝0)

－1 (x <－1)的下确界为－1.∴f (x )＝????? 1 (x >0)0 (x ＝0)－1 (x <－1)是有下确界的

函数．答案：①③④

6．已知函数f (x )＝x 2，g (x )＝x －1.

(1)若存在x ∈R 使f (x )

(2)设F (x )＝f (x )－mg (x )＋1－m －m 2，且|F (x )|在[0,1]上单调递增，求实数m 的取值范围.

解：

(1)x ∈R ，f (x )0 b <0或b >4.(2)F (x )＝x 2－mx ＋1－m 2，Δ＝m 2－4(1－m 2)＝5m 2－4，

①当Δ≤0即－255≤m ≤255

时，则必需

??? m 2≤0－255≤m ≤255

－255≤m ≤0. ②当Δ>0即m <－255或m >255

时，设方程F (x )＝0的根为x 1，x 2(x 1

m ≥2. 若m 2

≤0，则x 2≤0， ????? m 2≤0F (0)＝1－m 2≥0

－1≤m <－255.综上所述：－1≤m ≤0或m ≥2. B 组

1．(2010年山东东营模拟)下列函数中，单调增区间是(－∞，0]的是________．

①y ＝－1x

②y ＝－(x －1) ③y ＝x 2－2 ④y ＝－|x | 解析：由函数y ＝－|x |的图象可知其增区间为(－∞，0]．答案：④

2．若函数f (x )＝log 2(x 2－ax ＋3a )在区间[2，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是________．

解析：令g (x )＝x 2－ax ＋3a ，由题知g (x )在[2，＋∞)上是增函数，且g (2)>0.

∴????? a 2≤2，4－2a ＋3a >0，

∴－40)在(34，＋∞)上是单调增函数，则实数a 的取值范围__． 解析：∵f (x )＝x ＋a x (a >0)在(a ，＋∞)上为增函数，∴a ≤34，0

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