2018年四川省泸州市高考数学一诊试卷(文科)(3)

【解答】解：长方体ABCD﹣EFGH，若要使液面不为三角形， 则液面必须高于平面EHD，且低于平面AFC；

而当平面EHD平行水平面放置时，若满足上述条件，则任意转动该长方体， 液面的形状都不可能是三角形；

所以液体体积必须大于三棱柱G﹣EHD的体积，

并且小于长方体ABCD﹣EFGH体积﹣三棱柱B﹣AFC体积1﹣=， 又长方体体积为1×2×3=6，

所以液体体积取值范围是×6＜V液体＜×6，即1＜V液体＜5． 故答案为：（1，5）．

三、解答题（共5小题，满分60分）

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17．（12分）已知函数f（x）=sinxcosx﹣cos2x+a的最大值为（1）求a的值；

（2）求f（x）≥0使成立的x的集合． 【解答】解：（1）∵f（x）=sinxcosx﹣cos2x+a==∴∴a=；

（2）由（1）知，f（x）=由f（x）≥0，得即∴

≥0，

，k∈Z． ，k∈Z．

]，k∈Z．

，

=， ，

．

∴f（x）≥0成立的x的集合为[

18．（12分）设f（x）=aex﹣cosx，其中a∈R．

（1）求证：曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线过定点； （2）若函数f（x）在（0，

）上存在极值，求实数a的取值范围．

【解答】解：（1）设f（x）=aex﹣cosx，其中a∈R．可得f′（x）=aex+sinx，f′（0）=a，

f（0）=a﹣1，

曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为：y﹣（a﹣1）=ax，即a（x+1）﹣（y+1）=0，

切线恒过（﹣1，﹣1）点．

（2）由（1）可知：f′（x）=aex+sinx=0，函数f（x）在（0，说明方程有解， 可得a=

，

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）上存在极值，

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令h（x）=h′（x）=当x∈（0，当x∈（

，

，

，x∈（0，

），

）时，h′（x）＜0，函数是减函数， ）时，h′（x）＞0，函数是增函数，

函数的最小值为：=，函数的最大值为：x=0时的函数值，即：h（0）

=0．

所以实数a的取值范围：[

19．（12分）如图，在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，sinA=2sin（A+B），它的面积S=（1）求sinB的值；

（2）若D是BC边上的一点，cos

，求

的值．

c2．

，0）．

【解答】解：（1）∵sinA=2sin（A+B）， ∴sinA=2sinC，a=2c， ∴S=sinB?c?2c=故sinB=

；

，cos，

，

c2，

（2）由（1）sinB=∴cosB=

，sin∠ADB=

∴sin∠BAD =sin（B+∠ADB）

=sinBcos∠ADB+cosBsin∠ADB

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==由得：

×+，

==

×

，

，解得：BD=c，

故

=3．

20．（12分）如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是梯形，AB∥DC，∠ABC=90°，AD=SD，BC=CD=

，侧面SAD⊥底面ABCD．

（1）求证：平面SBD⊥平面SAD；

（2）若∠SDA=120°，且三棱锥S﹣BCD的体积为

，求侧面△SAB的面积．

【解答】（1）证明：在梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC=90°，BC=CD=设BC=a，则CD=a，AB=2a，在直角三角形BCD中，∠BCD=90°， 可得BD=

a，∠CBD=45°，∠ABD=45°，

=

a，

，

由余弦定理可得AD=则BD⊥AD，

由面SAD⊥底面ABCD．可得BD⊥平面SAD， 又BD?平面SBD，可得平面SBD⊥平面SAD；

（2）解：∠SDA=120°，且三棱锥S﹣BCD的体积为由AD=SD=

a，

a，

a，

，

在△SAD中，可得SA=2SDsin60°=△SAD的边AD上的高SH=SDsin60°=

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由SH⊥平面BCD，可得 ×

a××a2=

，

解得a=1，

由BD⊥平面SAD，可得BD⊥SD， SB=又AB=2a，

在等腰三角形SBA中， 边SA上的高为

=

a， a=

a=

．

=

=2a，

则△SAB的面积为×SA×

21．（12分）已知函数f（x）=

﹣ax+alnx．

（Ⅰ）当a＜0时，论f（x）的单调性； （Ⅱ）当a=1时．若方程f（x）=x1＜x2．证明x1＜

．

﹣ax+alnx（a＞0）的定义域为（0，+∞） +m（m＜﹣2）有两个相异实根x1，x2，且

【解答】（Ⅰ）解：函数f（x）=f′（x）=x﹣a+=

，（a＜0），△=a2﹣4a．

＜0，

＞0

当a＜0时，△＞0，f′（x）=0的根

x∈（0，x2）时，f′（x）＜0，x∈（x2，+∞）时，f′（x）＞0， ∴f（x）在（0，x2）递减，（x2，+∞）上单调递增， （Ⅱ）证明：当a=1时，若方程f（x）=x2

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+m（m＜﹣2）有两个相异实根x1，

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?方程lnx﹣x﹣m=0（m＜﹣2）有两个相异实根x1，x2． 令g（x）=lnx﹣x﹣m，定义域为（0，+∞），g′（x）=﹣1 令g′（x）＜0得x＞1，令g′（x）＞0得0＜x＜1

所以函数g（x）=lnx﹣x﹣m的单调减区间是（1，+∞），单调递增区间（0，1）， 又lnx1﹣x1﹣m=lnx2﹣x2﹣m=0， 由题意可知lnx2﹣x2=m＜﹣2＜ln2﹣2，

又可知g（x）=lnx﹣x﹣m在（1，+∞）递减，故x2＞2， 令h（x）=g（x）﹣g（h（x）=g（x）﹣g（h′（x）=﹣

），（x＞2）， ）=）=﹣x+，

+3lnx﹣ln2（x＞2），

当x＞2时，h′（x）＜0，h（x）是减函数，所以h（x）＜h（2）=2ln2﹣＜0． 所以当x2＞2 时，g（x2）﹣g（

）＜0，即g（x1）＜g（

），

因为g（x）在（0，1）上单调递增， 所以x1＜

请考生在22.23题中任选一题作答，[选修4-4：坐标系与参数方程]

22．（10分）在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系，已知直线的极坐标方程为极坐标方程为ρ=4acosθ（a＞0）． （1）设t为参数，若y=﹣2

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