4.4 利用根轨迹分析系统性能

4.4 利用根轨迹分析系统性能

利用根轨迹，可以定性分析当系统某一参数变化时系统动态性能的变化趋势，在给定该参数值时可以确定相应的闭环极点，再加上闭环零点，可得到相应零、极点形式的闭环传递函数。本节讨论如何利用根轨迹分析、估算系统性能，同时分析附加开环零、极点对根轨迹及系统性能的影响。

4.4.1 利用闭环主导极点估算系统的性能指标

如果高阶系统闭环极点满足具有闭环主导极点的分布规律，就可以忽略非主导极点及偶极子的影响，把高阶系统简化为阶数较低的系统，近似估算系统性能指标。

例4-10 已知单位反馈系统的开环传递函数为

G(s)=

K

s(s+1)(0.5s+1)

试用根轨迹法确定系统在稳定欠阻尼状态下的开环增益K的范围，并计算阻尼比ξ=0.5的

K值以及相应的闭环极点，估算此时系统的动态性能指标。

解 将开环传递函数写成零、极点形式，得

2KK*

G(s)==

s(s+1)(s+2)s(s+1)(s+2）

式中，K*=2K为根轨迹增益。

系统有三条根轨迹分支，均趋向于无穷远处； ⑴ 实轴上的根轨迹区段为：( ∞, 2]，[ 1,0]；

1 2 σ== 1 a3

⑵ 渐近线：

=(2k+1)π=±π,πa 33

⑶ 分离点：

111++=0 dd+1d+2

整理得 3d2+6d+2=0

解得 d1= 1.577 d2= 0.432 显然分离点为 d= 0.432，由幅值条件可求得分离点处的K值：

*Kd=dd+1d+2=0.4

*

⑷ 与虚轴的交点：闭环特征方程式为

D(s)=s3+3s2+2s+K*=0

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