4.4 利用根轨迹分析系统性能(2)

2*

Re[D(jω)]= 3ω+K=0

令

3

Im[D(jω)]= ω+2ω=0

ω

=±2

解得 *

K=6

系统根轨迹如图4-16所示。

从

从根轨迹图上可以看出稳定欠阻尼状态的根轨迹增益的范围为0.4<K*<6，相应开环增益范围为0.2<K<3。

为了确定满足阻尼比ξ=0.5条件时系统的3它个闭环极点，首先做出ξ=0.5的等阻尼线0A，与负实轴夹角为

β=arccosξ=60o

如图4-16所示。等阻尼线0A与根轨迹的交点即为相应的闭环极点，可设相应两个复数闭环极点分别为

λ1= ξωn+jωn ξ2= 0.5ωn+j0.866ωn λ2= ξωn jωn ξ2= 0.5ωn j0.866ωn

闭环特征方程为

D(s)=(s λ1)(s λ2)(s λ3)=

22

s3+(ωn λ3)s2+(ωn λ3ωn)s λ3ωn=

s3+3s2+2s+K*=0

ωn λ3=3

2

比较系数有 ωn λ3ωn=2

2* λ3ωn=K

2 ω= n3

解得 λ3= 2.33

*

K=1.04

故ξ=0.5时的K值以及相应的闭环极点为 K=K

*

=0.52

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