4.4 利用根轨迹分析系统性能(4)

起始角：对开环极点p1,2= 1：

(0+0+2θ1)=(2k+1)π

对开环极点p3,4= 4：

θ1=±90° θ3=±90°

(2×180°+2θ3)=(2k+1)π

与虚轴的交点：闭环特征方程为

D(s)=s4+10s3+33s2+40s+16+K*=0

令

42*

Re[D(jω)]=ω 33ω+16+K=0

3

Im[D(jω)]= 10ω+40ω=0

ω=±2解得

Kc=100

系统根轨迹如图4-17所示。

（2）由根轨迹可见，系统存在一对复数主导极点，系统性能可以由二阶系统性能指标公 式近似估算。σ%=4.32%，对应画β=45的等阻尼线与根轨迹交于A点。设位于A点的

o

主导闭环极点为 λ1,2= σ±jσ，则可设另外两个极点为λ3,4= δ±jσ，由根之和条件：

2σ 2δ=2×( 1)+2×( 4)= 10，可得：δ= 5+σ。因此有

D(s)=(s+σ+jσ)(s+σ jσ)(s+5 σ+jσ)(s+5 σ jσ)

=s4+10s3+(25+10σ)s2+50σs+(50 20σ+4σ2)σ2 =s4+10s3+33s2+40s+16+K*=0

比较系数可得

σ=0.8 K=7.8934

*

可见，当取K*≤7.8934时，有δ%≤4.32% （3）要求ts=

3.5

ξωn

≤2s，即ξωn≥1.75。这表明主导极点必须位于左半s平面，且距

离虚轴大于1.75。由根轨迹图知，在系统稳定的范围内，主导极点的实部绝对值均小于1，故调节时间ts≤2s的要求不能满足。

K

，临界稳定的根轨迹增益为Kc（4）由于Kp=limG(s)==100。所以，使系统稳

s→016

定的位置误差系数应满足

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