山东省菏泽学院附中2012届高三下学期5月高考冲刺题数学(理)(9)

f(0) 0 c 0

依题意得： ，即 解得b c 0

f ( 1) 5 3 2 b 5

解：（Ⅰ）当x（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

x3 x2,x 1

f(x)

alnx,x 1

3

①当 1

x 1时，f (x) 3x2 2x 3x(x 2)，令f (x) 0得x 0或x f (x),f(x)的变化情况如下表：

2 3

当x变化时，

又

，f(0) 0。∴f(x)在[ 1,1)上的最大值为2. f( 1) 2，f()

327

②当1 x 2时, f(x) alnx.当a 0时, f(x) 0,f(x)最大值为0； 当a 0时, f(x)在[1,2]上单调递增。∴f(x)在[1,2]最大值为aln2。

2

综上，当aln2 2时，即a 时，f(x)在区间 1,2 上的最大值为2；

ln22

当aln2 2时，即a 时，f(x)在区间 1,2 上的最大值为aln2。

ln2

（Ⅲ）假设曲线y f(x)上存在两点P、Q满足题设要求，则点P、Q只能在y轴两侧。

32

不妨设P(t,f(t))(t 0)，则Q( t,t t)，显然t 1

∵

POQ是以O为直角顶点的直角三角形，∴ 0

2

即 t若0

f(t)(t3 t2) 0 （*）若方程（*）有解，存在满足题设要求的两点P、Q；

若方程（*）无解，不存在满足题设要求的两点P、Q.

t 1，则f(t) t3 t2代入（*）式得： t2 ( t3 t2)(t3 t2) 0 42

即t t 1 0，而此方程无解，因此t 1。此时f(t) alnt，

1232

代入（*）式得： t (alnt)(t t) 0 即 (t 1)lnt （**）

a1

令h(x) (x 1)lnx (x 1)，则h (x) lnx 1 0

x

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