三角形中位线训练试题解答题

DE上存在点G，满足条件DG=DA．

4．（2008?延庆县二模）（1）如图所示，BD，CE分别是△ABC的外角平分线，过点A作AF⊥BD，AG⊥CE，垂足分别为F，G，连接FG，延长AF，AG，与直线BC分别交于点M、N，那么线段FG与△ABC的周长之间存在的数量关系是什么？ 即：FG=

（AB+BC+AC）

（直接写出结果即可）

（2）如图，若BD，CE分别是△ABC的内角平分线；其他条件不变，线段FG与△ABC三边之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并给予证明．

（3）如图，若BD为△ABC的内角平分线，CE为△ABC的外角平分线，其他条件不变，线段FG与△ABC三边又有怎样的数量关系？直接写出你的猜想即可．不需要证明．答：线段FG与△ABC三边之间数量关系是 GF=（AC+BC﹣AB） ．

【解答】（1）FG=（AB+BC+AC）；

（2）答：FG=（AB+AC﹣BC）；

证明：延长AG交BC于N，延长AF交BC于M ∵AF⊥BD，AG⊥CE，

∴∠AGC=∠CGN=90°，∠AFB=∠BFM=90°

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在Rt△AGC和Rt△CGN中

∠AGC=∠CGN=90°，CG=CG，∠ACG=∠NCG ∴△AGC≌Rt△NGC ∴AC=CN，AG=NG

同理可证：AF=FM，AB=BM． ∴GF是△AMN的中位线 ∴GF=MN．

∵AB+AC=MB+CN=BN+MN+CM+MN，BC=BN+MN+CM ∴AB+AC﹣BC=MN

∴GF=MN=（AB+AC﹣BC）；

（3）线段FG与△ABC三边之间数量关系是：GF=（AC+BC﹣AB）．

5．（2013春?西城区期末）如图，在△ABC中，AC＞AB，D点在AC上，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连结EF并延长，与BA的延长线交于点G，若∠EFC=60°，联结GD，判断△AGD的形状并证明．

【解答】解：判断：△AGD是直角三角形．

证明：连接BD，取BD的中点H，连接HF、HE， ∵F是AD的中点， ∴HF∥AB，HF=AB， ∴∠1=∠3，

同理，HE∥CD，HE=CD， ∴∠2=∠EFC， ∵AB=CD， ∴HF=HE， ∴∠1=∠2， ∴∠3=∠EFC， ∵∠EFC=60°，

∴∠3=∠EFC=∠AFG=60°，

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∴△AGF是等边三角形， ∴AF=FG， ∵AF=FD， ∴GF=FD，

∴∠FGD=∠FDG=30°， ∴∠AGD=90°，

即△AGD是直角三角形．

6．如图所示，已知AB=CD，AN=ND，BM=CM，求证：∠1=∠2．

【解答】解：连接BD，取BD的中点G，连接MG，NG ∵G、N、M均为中点，

∴GN是△ADB的AB对的中位线，GM是△BCD的CD对的中位线， ∴NG∥AB，NG=AB，GM∥CD，GM=CD， ∴∠1=∠GNM，∠2=∠GME， 又∵AB=CD， ∴MG=NG．

∴∠GNM=∠GME． ∴∠1=∠2．

7．已知：如图，△ABC中，∠A＞∠B，CR是∠ACB的平分线且交AB于R，AQ⊥CR，垂足为Q，P为AB的中点，求证：PQ=（BC﹣AC）．

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【解答】解：延长AQ与BC交于D． ∵CR是∠ACB的平分线， ∴∠ACQ=∠DCQ．

∵∠AQC=∠DQC=90°，CQ=CQ， ∴△ACQ≌△DCQ．（ASA） ∴AQ=QD，AC=CD，

∴BC﹣CD=BC﹣AC=BD．

∵P是AB的中点，且AQ=QD， ∴PQ是三角形ABD的中位线． ∴PQ=BD． ∴PQ=（BC﹣AC）．

8．如图所示．在四边形ABCD中，CD＞AB，AB与CD不平行，E，F分别是AC，BD的中点．求证：

．

【解答】证明：取AD中点G，连接EG，FG，

在△ACD中，EG是它的中位线（已知E是AC的中点）， 所以EG=CD①

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