泰勒公式的应用_毕业论文(11)

毕业论文

1 1 x x x3 0 x4 x2 1 x2 0 x3 1 1x2 0 x3 xsinx3! 1 6 6 1 x2 0 x3 1 0 x 31x sinx 6 xx 0 x4 x 0 x2 x x x3 0 x4

663!

x 所以lim

xsinx

6，所以p 1。

x 0x sinx

xsinx

dx发散。 所以广义积分 10

x sinx

从以上2个例子可知，级数与广义积分联系密切，结论类似。

3.3 利用泰勒公式证明中值问题

3.3.1 证明中值公式

若欲证的结论是至少存在一点c a,b ,使得关于a,b,f(a)，f(b) c ,f(c), f'(c) f(n)(c)代数式的证明。可以考虑使用辅助函数法，然后验证辅助函数满足罗尔定理条件，由定理的结论即得命题的证明，下面通过例题来说明一下。

例9 设f x 在 a,b 上三次可导，试证： c a,b ，使得：

13 a b （1） f b f a f b a fcb a

24 2

证明：设k为使下式成立的实数：

13 a b

f b f a f b a kb a 0 （2）

24 2

此时，问题归为证明： c a,b ，使得k f c 。

k3 a x

g x f x f a f x a x a 0 （3）

224

则g a g b 0。

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