泰勒公式的应用_毕业论文(13)

毕业论文

3.4.1 利用泰勒公式证明积分不等式或积分等式

泰勒公式在定积分不等式方面应用的关键在于确定在哪一点x0将函数展开，其次将函数展开到第几项为止。

例10 设f x 在 a,b 上单调增加，且f x 0，证明

baf

x dx

f a f b

b 。

2

分析：（1）因为不等式右边出现了f a 与f b ，提示我们选择

x0 a，x0 b分别展开。

（2）已知f x 0，所以最多只能展开到含二阶导数为止。 证明：对 x0 a,b ，f x 在点x0处的泰勒展开式为：

f x0 f x0 f x0 x x0

12

f x x0 ， x0,x 。 2

因为f 0，所以f x f x0 f x0 x x0 。 令x a，x b则f a f x0 f x0 a x0 ，

f b f x0 f x0 b x0 。

则f a f b 2f x0 a b f x0 2x0f x0 。

对上式两边同时在 a,b 积分得：

bbb

b a f a f b 2 af x0 dx0 a b af x0 dx0 2 ax0f x0 dx0,bbb b a f a f b 2 af x dx a b f b f a 2 xf x a af x dx .

b

fa fbb a 4 得 2 af x dx。

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