泰勒公式的应用_毕业论文(14)

毕业论文

f a f b ，命题得证。 故 bfxdx b a a

2

由例10可知，当已知被积函数f x 二阶或二阶以上可导，而且已知最高阶导数的符号时，用泰勒公式证明定积分不等式往往比较有效，一般先直接写出f x 的泰勒展开式（有时根据题意对展开式进行放缩），然后两边积分证得结果。

例11 设f x 在 0,1 上有连续的二阶导数，且f 0 f 1 0，试证 10f x dx

f 0 f 1 f

， 0,1 。 26

分析：由题中条件“f x 在 0,1 上有连续的二阶导数”，我们可以考虑用泰勒公式来解题，由于题中要证的等式右边具有f 。可以考虑将函数F x 1t开为二阶泰勒公式。题中已知 td展0f

f 0 f 1 0，我们可在x点作泰勒展开，然后分别令x 1，x 0，这样既可使展开式得以简化，又可引出f 0 ，f 1 ，有利于问题的证明。

证明： x 0,1 ，设F x 1ft dt 0

，则F 0 0，F x f x ，

F x f x ，F x f x ，把F u 在u x 0 u 1 处展开二阶泰勒公式：

F u F x f x u x

1123

f x u x f u x , u,x 。 23!

分别令u 1，u 0，并将所得两式相减：

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