泰勒公式的应用_毕业论文(12)

毕业论文

根据罗尔定理， a,b ，使得g 0。 由（3）式，即：

2 a a a k f f f a 0 （4）

8 2 2 2

这是关于k的方程，注意到f 在点

a

处的泰勒公式： 2

2

a a a 1 a f f f c f 2222 2

，

c a,b （5）

由（4）、（5）两式可得：

k1 a 122

， fc a a f c

8228 则k f c ，命题得证。

解这种题最重要的就是辅助函数的确定，例题9使用的就是原函数法，即通过恒等变形将结论化为以消除导数符号的形式或易积分的形式，用观察法或积分法求出原函数，为简便积分常数取作零，移项使等式一边为零，则另一边将结论中的c换成x即为所需的辅助函数。

如果题中出现积分表达式，则可以直接将被积函数设为辅助函数。 例如 设f(x)在[0,1]连续，在（0,1）可导且满足

f(1 )k

1

k0

1 xxe

2

明至少存在一点c (0,1),使得f(x)d ,x(，k证1)

f'(c) (1 c 1)f(c)。

证明：只要设辅助函数为F(x) xe1 xf(x)，即可以解出此题。

3.4 利用泰勒公式证明不等式和等式

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