泰勒公式的应用_毕业论文(9)

毕业论文

先确定f x 在点x0的某个领取内是否有连续导数，并且注意它的阶。 注2 若条件“f x 在点x 0的某一领域内具有二阶连续导数”，改为“f x 在点x 0的某一领域内二阶连续导数有界”，结论照样成立。

例6 设f x 在 1,1 上三阶连续可微，试证明

n n 1

1 f n

1

f 2f 0 收敛。 n

证明：由已知存在M 0使|f x | M，x 1,1 。

1

将f ，

n

1

f 在x 0点泰勒展开，则： n

1111 1 1

f f 0 f 0 2 f 1 3， 1 10,1 ；

n2n6 n n n

1111 1 1

f f 0 f 0 f 0 2 f 2 3， 2 1,0 ；

n2n6 n n n

1 1 2 M。 1 1 故有|n |f f f f 2f0| | 2 2 n 6nnn n 3n

因为

M

是收敛的，所以原级数也收敛，且是绝对收敛。 23nn 1

3.2.3 广义积分敛散性的判定

在判定广义积分 a|f x |dx敛散性时，通常选取广义积分

1

dx p 0 进行比较，在此通过研究无穷小量|f x | x xp

1

dx中的p值，的阶来有效地选择 从而判定 aa|f x |dx的敛p

x a

散性，我们要注意到如果 则 f x dx也收敛。a|f x |dx收敛，a

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