2017年全国高中数学联合竞赛试题与解答(B卷)(5)

一试试卷答案

1.答案：89

解：数列{}n a

的公比为32a q a ==，故120111201166720171201118()9a a a a a a q a a q ++===++. 2.

解：设,,z a bi a b R =+∈，由条件得(9)10(1022)a bi a b i ++=+-+，比较两边实虚部可得

9101022

a a

b b +=??=-+?，解得：1,2a b ==，故12z i =+

，进而||z 3.答案：74

- 解：由条件知，2(1)1((1)(1))(1)1f f f +=--+-=---，1(1)2(1)2f f +=-+

， 两式相加消去(1)f -，可知：12(1)32f +=-，即7(1)4

f =-. 4.

答案：解：由正弦定理知，

sin 2sin a A c C ==，又2b ac =

，于是::a b c =

，从而由余弦定理得：222222cos 24b c a A bc +-===-. 5.

答案：解：由条件知，EF 平行于BC ，因为正四面体ABCD 的各个面是全等的正三角形，故4AE AF EF ===，7AD AB AE BE ==+=.

由余弦定理得，DE

==

同理有DF =作等腰DEF ?底边EF 上的高DH ，则122EH EF =

=

，故DH ，

于是12DEF S EF DH ?==

6.答案：514

解：注意K 中共有9个点，故在K 中随机取出三个点的方式数为3984C =种，

当取出的三点两两之间距离不超过2时，有如下三种情况：

（1）三点在一横线或一纵线上，有6种情况，

（2

）三点是边长为4416?=种情况，

（3

的等腰直角三角形的顶点，其中，直角顶点位于(0,0)的有4个，直角顶点位于(1,0)±，(0,1)±的各有一个，共有8种情况.

综上可知，选出三点两两之间距离不超过2的情况数为616830++=，进而所求概率为3058414

=. 7.

解：二次曲线方程可写成22

21x y a a

--=，显然必须0a ->

，故二次曲线为双曲线，其标准方程为22

21()x a -=-

，则2222()c a a a =+-=-，注意到焦距24c =，可知24a a -=，又0a <，

所以a =. 8.答案：574

解：由条件知2017[]21000

c ≤=，当1c =时，有1020b ≤≤，对于每个这样的正整数b ，由10201b a ≤≤知，相应的a 的个数为20210b -，从而这样的正整数组的个数为

2010(1022)11(20210)5722

b b =+?-==∑， 当2

c =时，由201720[]100b ≤≤，知，20b =，进而2017200[]20110

a ≤≤=， 故200,201a =，此时共有2组(,,)a

b

c .

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