2017年全国高中数学联合竞赛试题与解答(B卷)(6)

综上所述，满足条件的正整数组的个数为5722574+=.

9.解：设2x

t =，则[2,4]t ∈，于是|||5|t a t -<-对所有[2,4]t ∈成立，由于22|||5|()(5)t a t t a t -<-?-<-，(25)(5)0t a a ?---<，

对给定实数a ，设()(25)(5)f t t a a =---，则()f t 是关于t 的一次函数或常值函数，注意[2,4]t ∈，因此()0f t <等价于(2)(1)(5)0(4)(3)(5)0f a a f a a =---<??=--<?

，解得35a << 所以实数a 的取值范围是35a <<.

10.解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，则22123112()()n n n n n n n n b b a a a a a a ++++++-=---

23111()()()n n n n n n n a a a a a a a +++++=--+-212()n n n a d a a d ++=-+ 221(2)3n n n a a a d d ++=--= 所以数列{}n b 也是等差数列.

（2）由已知条件及（1）的结果知：23d d =，因为0d ≠，故13

d =，这样2212()(2)n n n n n n n

b a a a a d a d a ++=-=++- 22329

n n da d a =+=+ 若正整数,s t 满足s t a b Z +∈，则1122(1)(1)99s t s t a b a b a s d a t d +=++

=+-++-+ 122239

s t a Z +-=+

+∈. 记122239

s t l a +-=++，则l Z ∈，且1183(31)1a l s t =--++是一个非零的整数，故1|18|1a ≥，从而11||18

a ≥. 又当1118a =时，有1311711818

a b Z +=+=∈， 综上所述，1||a 的最小值为118. 11.解：设2(,2)P t t ，则直线l 的方程为22y x t t =+-，代入曲线2C 的方程得，222

(4)(2)8x x t t -++-=， 化简可得：222222(24)(2)80x t t x t t --++-+=①，

由于l 与2C 交于两个不同的点，故关于x 的方程①的判别式?为正，计算得， 222222222(24)2((2)8)(2)8(2)162(2)164t t t t t t t t t t ?=-+--+=---+---

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