专题24 以几何体为载体的应用题(解析版)(16)

则此时梯形APQB 的面积 ()()23211124224222S t t t t t t ??=+?-=--++ ???

, △()23

'222S t t t =--+,令()23'22=02S t t t =--+,得23

t =, 当20, 3t ??∈ ???时,()'0S t >,()S t 单调递增,当2, 23t ??∈ ???

时,()'0S t <, ()S t 单调递减,所以当23t =时,()S t 有最大值12827

,改挖后的水渠的底宽为43m 时,可使填土的土方量最少. （2）为了使挖掉的土最少,等腰梯形的两腰必须与抛物线相切,设切点()21, 02M t t t ??> ???

, 则函数在点M 处的切线方程为()21

2

y t t x t -=-, 分别令0,2y y ==得2, 0,, 222t t A B t ????+ ? ?????

, 所以梯形OABC 的面积()1222222S t t t t t

??=+?=+ ???≥, 当且仅当2t =时,等号成立,

此时2OA =.所以设计改挖后的水渠的底宽为2m 时,可使挖土的土方量最少. 5、一个帐篷的形状如图,下部分是高为1m 的正六棱柱,上部分是侧棱长为3m 的正六棱锥.试问当帐篷的顶点O 到底面中心O 1的距离为多少时,帐篷的体积最大? M

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