专题24 以几何体为载体的应用题(解析版)(3)

例2、(2018苏北四市期末)某艺术品公司欲生产一款迎新春工艺礼品,该礼品由玻璃球面和该球的内接圆锥组成,圆锥的侧面用于艺术装饰,如图1,为了便于设计,可将该礼品看成是由圆O 及其内接等腰三角形ABC 绕底

边BC 上的高所在直线AO 旋转180°而成,如图2,已知圆O 的半径为10 cm ,设△BAO ＝θ,0<θ<π2

,圆锥的侧面积为S cm 2.

(1) 求S 关于θ的函数关系式；

(2) 为了达到最佳观赏效果,要求圆锥的侧面积S 最大,求S 取得最大值时腰AB 的长度．

(图1)

(图2)

思路分析 (1) 母线长l 是OA 在AB 上的射影的两倍,可用θ表示．底面半径r 是l 在底面上的射影,可用l 和θ表示．从而S ＝πrl 可用θ表示；

(2) 求导数,找导函数的零点,列表确定极大值,唯一的极大值也是最大值．

规范解答 (1) 设AO 交BC 于点D,过O 作OE△AB,垂足为E.

在△AOE 中,AE ＝10cos θ,AB ＝2AE ＝20cos θ.(2分)

在△ABD 中,BD ＝AB·sin θ＝20cos θ·sin θ,(4分)

所以S ＝12

·2π·20sin θcos θ·20cos θ ＝400πsin θcos 2θ?

???0<θ<π2.(6分)

(2) 由(1)得S ＝400πsin θcos 2θ＝400π(sin θ－sin 3θ)．(8分)

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