2021届辽宁省大连市第二十四中学高三4月模拟考试数学(理)试题(17)

高中数学高考同步试卷

变形可得：y 2＝4x ，

则M 的轨迹是抛物线，其焦点为A （1，0），准线为x ＝﹣1，

过点M 作MD 与准线垂直，且交准线于点D ，

设直线l 为x +（m ﹣1）y +2m ﹣5＝0，变形可得m （y +2）＝y ﹣x +5，

∴可得直线l 经过定点（3，﹣2），

设P （3，－2），设AP 的中点为C ，则C 的坐标为（2，﹣1），|CP |=

若AB ⊥l ，则B 在以AP 为直径的圆上，该圆的方程为22(2)(1)2x y -++=，

又由|MA |＝|MD |，则|MA |+|MB |＝|MD |+|MB |，

则当C 、M 、D 三点共线时，|MA |+|MB |取得最小值，且|MA |+|MB |取得最小值为圆22(2)(1)2x y -++=上的点到D 的最小值，

此时|MA |+|MB |min ＝|CD |﹣r ＝3

故选：D ．

【点睛】

本题考查抛物线的几何性质，涉及直线与圆的位置关系，关键是求出M 的轨迹方程，属于综合题．

13．13

【分析】 利用诱导公式与二倍角的余弦公式可得2cos 263sin x x ππ????-=+

? ?????212sin 6x π??=-+ ???，计算求得结果.

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