07年数学建模论文cumcm0719[1](15)

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六． 灵敏度稳定性分析

换乘时间有时会有微小变动，并且公交车和地铁的票价也会随着政策的不同而改变，

所以对这两方面可能产生的波动进行讨论就变得很有必要：

1．时间的波动。

与公交车和地铁行驶相关的时间有两个，分别是相邻两站间的平均行驶时间和换车所需时间，由于最优路线的选择仅与这两个时间的比值相关，我们不妨固定相邻两站间公交车和地铁的平均行驶时间，变动换车时间，研究它对最优路线的影响。

从问题一我们得知，我们针对不同换乘次数存在不同方案的4个算例，给出了在固定公交在相邻两站间的平均行驶时间的情况下，换车时间的改变对乘车时间的影响。

当换车时间为20分钟以上时，才有可能改变最优路径的选择方案，因此，问题一中换车时间对方案的选择影响不大。

在问题二里，存在着有很多换乘策略，但总时间花费却差不多的现象，以S01三8到S0485为例，我们首先固定公交车和地铁的两站间的平均行驶时间，研究公汽换公汽的时间对最优路线的影响。

图6.1 图6.2

从图6.1中可以看出，这次公汽换公汽的时间对最优路线的影响就非常大，当公汽

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换公汽的时间多于6分钟时，最优策略就发生改变。因此，此时应尽量选择少换车的方案，以减小换车时的等待造成的时间开销。

在现实生活中，公交与地铁的行驶时间比也会影响到策略的选择，我们仍以S0148到S0485为例，研究这个比例的变化对乘车方案的影响，从图6.2中可以看到，比值在0.8附近就对最优乘车路线产生了影响，为了避免这样的影响，我们建议出行时还是尽量选择两站间行驶时间比较稳定的地铁以减少行驶时间的变动造成的影响。

2．价格的变动。

就在我们讨论这个问题的同时，从网上得知，地铁的价格将由3元/次调整到2元/次。其实价格的变动对偏重时间的最优路线没有影响，在讨论它对偏重价格的最优路线的影响中，我们不妨固定公交车的价格，讨论地铁价格的变化对偏重价格路线的影响。

地铁价格变动之前，地铁，公交价格比为3，相当于坐一次地铁的钱可以坐3次公交，这对于偏重出行费用的乘客来说，他们一般不会坐地铁。通过编程可知，地铁站相邻的共117个车站间共13689条线路均可通过不超过2次换乘到达，具体乘车次数见下图：

也就是说他们乘公交在这117个车站间的花费不会超过3元，因此除了要乘3次车才能到达的那1644条线路的乘客外，其余乘客也就用不着坐地铁以增加出行费用。然而，当地铁价格调整为2元/次后，两站间乘地铁的费用也许会和乘公交的费用一样，甚至少于乘公交的费用，而乘地铁一般是比乘公交节省时间的，所以这必将导致许多乘客改变他们的出行方案。我们假定，如果一条路线乘地铁的费用小于或等于乘公交的费用，那么乘客会选择乘地铁，于是由上图可知，地铁价格调整到2元/次后，将有11344条路线的乘客选择乘地铁（未调整前为1644条），所以，地铁价格调整后将分流大部分乘客，从而大大缓解了公交车运营的压力。

在研究过程中我们还发现：乘公交的人之所以比乘地铁的人多出很多，是因为公交车站点覆盖十分广泛，有将近4000个，而地铁仅覆盖了117个公交站点，所以，加强地铁线路建设力度，建造更多的地铁线路，是使公交车压力得到缓解，公交地铁出行人数进一步平衡，乘客总出行时间减少的有效方案。

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七． 模型评价

优点：

1．模型很好地解决了三个问题，并且用强制搜索的方法给出了每个问题对应的最优解，具有良好的推广意义。

2．我们的模型充分考虑到了实际情况，从金钱，换乘次数和时间3方面衡量一个方案的好坏，能够全面对一种方案进行评价。

3．我们的模型可扩展性强，将来如果有别的出行方式可轻松加入到我们的模型中进行计算。 缺点：

模型只考虑到了两次换乘以内的情形，对于三次以上的换乘计算效率低下。

八． 模型扩展

1.拓展一:多种交通方式情况下两站点间最优路线的选择方法：

在第三问里，乘客的出行方式已经包括步行、乘地铁和乘公交三种情况，其实，现实生活中还可能有骑自行车、骑摩托等别的出行方式，因此，找到一种可包含所有这些出行方法的最优路线选择方案是很必要的。

通过对这三个问题的研究，我们发现：不同出行方式的数据处理方式有两种，一种给出路线—站点矩阵，表述某条路线是否经过某一站点，以及经过的顺序；另一种是给出两站点间步行所需时间的点对点矩阵。这样，无论增加多少出行方式，我们都可以把它们归到上述两种数据处理方法里。

然后是将对应站点联系起来，首先我们要考虑不同出行方式对应的站点是否相同，若相同，则无需处理；若不同，可按照地铁站点转化到相邻的公交站点的方法将其转化为已知站点，方法是动态规划法。最后，将所有数据合并成以上两种方式的矩阵，如果有重复数据，则取其耗费时间较小者。在数据处理过程中，要注意记录数据是出于哪种出行方式。这样，我们就把众多出行方式划归为两种。

最后就是计算，由于两种出行方式的转换不会太多，可列出所有类型，然后利用解决动态问题的方法求出不同出行方式情况下对应的最优路线，再将它们进行比较，从而可以得到最优路线。（由于不同方式间转换花费的时间相对于总出行时间较少，因此可先近似忽略，待求出最优路线后再加上）

2.拓展二:蚁群算法模型：

本模型的显著特点之一就是将换乘次数作为最重要的因素加以考虑。若存在部分人更重视时间而不介意经常换乘车辆（如在途中观光，购物等），则针对他们，可以提出允许较多换乘次数，且以最短时间为目标的蚂蚁算法。

城市的公交线网可用连通的赋权有向图G(S,L,E)表示。V={(si,lj)|1≤i≤n,1≤j≤m }为车辆的状态集, si为公交站点, lj表示车辆行至si时所在的公交路线;站点之间的有向连线(单向、双向)集E表示公交线路及其走向;连线上对应的权值表示蚂蚁出行路径的激素强度。

已知起、迄点的城市公交出行线网可简化为图2形式。假设任一公交站点k的出度

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