实变函数论教案第四章

函数论与测度(实变函数论)是高等师范院校数学专业的一门必修课程,它是普通微积分学的继续,是现代分析数学的基础。本课程的主要内容是n维欧氏空间上的Lebesgue 测度和Lebesgue积分理论。教学中要突出Lebesgue 测度与积分论的中心地位,使学生较好地掌握测度与积分这两个基本分析工具,能熟悉集合分解等基本方法。通过学习,使学生掌握一些近代抽象分析的基本思想,加深对数学分析中相关内容的理解;掌握实变函数的基本理论和方法

第四章 可 测 函 数

为了建立新的积分，我们已经对R中的一般集合定义了测度概念. 在本章中我们将定义可测函数的概念，讨论可测函数的性质. 我们会看到，可测函数类是包含连续函数类的一种范围相当广泛的函数类. 这个函数类对于四则运算是封闭的，而且对于极限运算也是封闭的. 我们还要讨论可测函数与连续函数的关系，从而进一步研究可测函数的结构. 最后研究可测函数的几种不同类型的收敛概念及其相互关系，使我们对可测函数有较深刻的理解.

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§1 可测函数及其性质

教学目的：使学生了解可测函数的原始定义及等价命题，掌握其运算性质。 本节重点：可测函数的定义及性质，几乎处处的概念。

在本书引言中指出，定义新的积分需要研究什么样的函数f(x)，使得对任何实数a,b，点集{x:a f(x) b}都有“长度”，即都是可测集.

可测函数的概念就是由此产生的. 因为本章讨论的函数可以取值 ，所以在给出可测函数概念之前，我们要介绍有限函数的概念和包含 在内的实数运算的规定.

设E R，称f(x)是E上的有限函数，是说对任意的x E，函数值f(x)都是有限实数.

包含 在内的实数运算作如下规定：

（i）( ) ( ) ，( ) ( ) ；

（ii）对任意的有限实数a，a ( ) ，a ( ) ； （iii）对任意的b 0，c 0，

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b ，b ( ) ，

c ，c ( ) ；

（iv）( ) ( ) ( ) ( ) ，

) ( )( ). ( ) (

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