函数论与测度(实变函数论)是高等师范院校数学专业的一门必修课程,它是普通微积分学的继续,是现代分析数学的基础。本课程的主要内容是n维欧氏空间上的Lebesgue 测度和Lebesgue积分理论。教学中要突出Lebesgue 测度与积分论的中心地位,使学生较好地掌握测度与积分这两个基本分析工具,能熟悉集合分解等基本方法。通过学习,使学生掌握一些近代抽象分析的基本思想,加深对数学分析中相关内容的理解;掌握实变函数的基本理论和方法
1 E[g ] E[g 0],若a 0; a
11
E[ a] E[g 0] E[g ], 若 a 0; ga
E[g 0] E[g ]若a 0.
是可测集，所以
1f1f
是可测函数，而 f ，由（3）是E上的可测函数. gggg
（5）对任意的实数a，
E[f a] [f a],a 0;
E[|f| a]
E,a 0.
是可测集，所以|f(x)|是E上的可测函数.
n
定义4.1.3 设E R是可测集，E1,E2, ,Em是E的互不相交的可测子集，且
E
i 1
m
i
E，C1,C2, ,Cm是常数，则称E上的函数 (x) Ci，x Ei，i 1,2, ,m,是E
上的简单函数.
显然有 (x)
C
ii 1
n
m
Ei
(x). 其中 Ei(x)是Ei的特征函数.
例6 可测集E R上的简单函数 (x)是可测函数.
证明 设 (x)是E R上的简单函数， (x) Ci，x Ei，i 1,2, ,m. 对每一个
n
1 i m， (x)在Ei上是常数函数，因而连续，所以可测. 即 (x)在每一个Ei(1 i m)
上都可测，由定理4.1.2的（ii）， (x)在E
下面讨论可测函数列的极限运算.
定义 设{fn(x)}是E上的可测函数列. 任取x0 E，令
E上可测.
ii 1
n
M(x0) sup{f1(x0),f2(x0), ,fn(x0), }； m(x0) inf{f1(x0),f2(x0), ,fn(x0), }.
称E上的函数M(x)和m(x)分别为{fn(x)}的上确界函数和下确界函数，记为
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