函数论与测度(实变函数论)是高等师范院校数学专业的一门必修课程,它是普通微积分学的继续,是现代分析数学的基础。本课程的主要内容是n维欧氏空间上的Lebesgue 测度和Lebesgue积分理论。教学中要突出Lebesgue 测度与积分论的中心地位,使学生较好地掌握测度与积分这两个基本分析工具,能熟悉集合分解等基本方法。通过学习,使学生掌握一些近代抽象分析的基本思想,加深对数学分析中相关内容的理解;掌握实变函数的基本理论和方法
M(x) supfn(x)；m(x) inffn(x)，x E
n
n
定理4.1.5 E上可测函数列{fn(x)}的上确界函数M(x)和下确界函数m(x)都是可测函数.
证明 对任意的实数a，由于E[M a]
E[f
n 1
n
a]，E[m a] E[fn a]. 所
n 1
以E[M a]和E[m a]都是可测集，因而M(x)和m(x)都是E上的可测函数.
定理4.1.6 设{fn(x)}是E上可测函数列，则F(x) fn(x)和G(x) limfn(x)也
n
n
是E上的可测函数.
如果limfn(x) limfn(x) limfn(x) f(x)，则极限函数f(x)是E上的可测函数.
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n
n
证明 由于limfn(x) sup(inffm(x))，limfn(x) inf(supfm(x)).
n
n
m n
n n
m n
由定理4.1.5，{mn(x)} {inffm(x)}是可测函数列，再由定理4.1.5，
m n
F(x) fn(x) sup{mn(x)}是E上的可测函数.
n
n
同理可证G(x) limfn(x)是E上的可测函数.
n
设f(x)是E上的实函数，令
f(x),x E[f 0];
f(x) max{f(x),0}
x E[f 0].0,
x E[f 0]; 0,
f (x) max{ f(x),0}
x E[f 0]. f(x),
则f (x)和f (x)都是E上的非负函数，分别称为f(x)的正部和负部. 显然
f(x) f (x) f (x)，|f(x)| f (x) f (x).
当f(x)在E上可测时，f(x)和f(x)也在E上可测.
在实变函数中，经常遇到“几乎处处”的概念.
定义4.1.5 设E是可测集，P(x)是一个和E中的点x有关的命题.
如果除了E的一个零测度集外P(x)处处成立，则称P(x)在E上几乎处处成立. 记为
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