函数论与测度(实变函数论)是高等师范院校数学专业的一门必修课程,它是普通微积分学的继续,是现代分析数学的基础。本课程的主要内容是n维欧氏空间上的Lebesgue 测度和Lebesgue积分理论。教学中要突出Lebesgue 测度与积分论的中心地位,使学生较好地掌握测度与积分这两个基本分析工具,能熟悉集合分解等基本方法。通过学习,使学生掌握一些近代抽象分析的基本思想,加深对数学分析中相关内容的理解;掌握实变函数的基本理论和方法
往证F 是闭集. 任取x0 F ，则x0 Rn，有唯一的k N，使x0 Sk Sk 1(k 1). 因为
F k Sk Sk 1
F k 1 Sk 1 Sk 2（k 1时） F k 1 Sk 1 Sk
由于各个(Sk Sk 1)(k 1,2, )互不相交，则x0F k 1且x0F k 1. 因为F k 1是闭集，
x0不是F k 1的聚点，所以有x0的某邻域U1(x0)，使U1(x0) F k 1 ，同理有x0的某邻域
，U2(x0)，使U2(x0) F k 1 . 取U(x0) U1(x0) U2(x0)（且使U(x0)的半径小于1）则U(x0) F k 1 ，U(x0) F k 1 ，并且当i k时，U(x0) F i .
因为x0 F ，所以存在点列{xj} F U(x0)，使xj x0(j )，而F
F
i 1
i
，
由以上分析，当i k时，U(x0) F i ，所以{xj} F k，x0是F k的聚点. 而F k是闭集，所以x0 F k F . 这样F F ，F 是闭集. 综上定理得证.
鲁金定理还有另一种表达方式，这种形式的鲁金定理会经常用到.
定理4.3.3 设f(x)是E R上的几乎处处有限的可测函数，则对任意的 0，存在闭集F E和在R上的连续函数g(x)，使得m(E F) ，且对任何x F，g(x) f(x)，还有
supg(x) supf(x)，infg(x) inff(x).
x R
x F
x R
x F
证明 由鲁金定理（定理4.3.2），存在闭集F E，使f(x)在F上连续且m(E F) . 以下将闭集F上的连续函数f(x)延拓成R上的连续函数.
由于F是闭集，所以F是从直线上挖掉至多可数个互不相交的开区间(ai,bi)所得到的集. 将f(x)在直线上挖掉的各个开区间(ai,bi)上按如下方式保持线性连续地延拓为g(x).
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