函数论与测度(实变函数论)是高等师范院校数学专业的一门必修课程,它是普通微积分学的继续,是现代分析数学的基础。本课程的主要内容是n维欧氏空间上的Lebesgue 测度和Lebesgue积分理论。教学中要突出Lebesgue 测度与积分论的中心地位,使学生较好地掌握测度与积分这两个基本分析工具,能熟悉集合分解等基本方法。通过学习,使学生掌握一些近代抽象分析的基本思想,加深对数学分析中相关内容的理解;掌握实变函数的基本理论和方法
E[f b] E[ n b f b].
n 1
所以E[f b]
E[ n b f b]是可测集.
n 1
由定理4.1.1知f是E上的可测函数.
推论 设f(x)在E R上可测，则对任何实数a，E[f a]是可测集，E[f ]及
n
E[f ]也是可测集.
证明 因为E[f a] E[f a] E[f a]，由于f在E上可测，由定理4.1.1知
E[f a]是可测集. 而
E[f ] E[f n]；E[f ] E[f n].
n 1
n 1
所以由定理4.1.1知E[f ]和E[f ]是可测集.
为了讨论R中一般可测集E上连续函数的可测性，我们给出R中一般点集E上连续函数的定义.
定义4.1.2 定义在E R上的实函数f(x)称为在x0 E连续，是说，如果y0 f(x0)有限，而且对于y0的任一邻域V，总存在x0的某邻域U，使f(U E) V. 即只要x E且
n
n
n
x U时，就有f(x) V.
如果f(x)在E中每一点都连续，则称f(x)在E上连续. 定理4.1.2 可测集E R上的连续函数是可测函数. 证明 对任意的实数a，往证E[f a]是可测集.
设x E[f a]，由连续函数局部保号性，存在x的某邻域U(x)，使
n
U(x) E
令G
E[ fa. ]
x E[f a]
U(x)，则
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