函数论与测度(实变函数论)是高等师范院校数学专业的一门必修课程,它是普通微积分学的继续,是现代分析数学的基础。本课程的主要内容是n维欧氏空间上的Lebesgue 测度和Lebesgue积分理论。教学中要突出Lebesgue 测度与积分论的中心地位,使学生较好地掌握测度与积分这两个基本分析工具,能熟悉集合分解等基本方法。通过学习,使学生掌握一些近代抽象分析的基本思想,加深对数学分析中相关内容的理解;掌握实变函数的基本理论和方法
（ii）lim n(t) t.
n
[2nt]2[2nt][2n 1t]
事实上，若t n，则 n(t) n n 1 n 1 n 1(t)；
2222n 1[t][2n 1t]
若n t n 1，则 n(t) n n 1 n 1 n 1(t)；
22
若t n 1，则 n(t) n n 1 n 1(t). （i）得证.
如果t ，则 n(t) n (n )；
如果0 t ，那么存在正整数N，使得N t，从而当n N时，
[2nt][2nt] 2nt1
| n(t) t| n t 0(n )， nn
222
所以lim n(t) t. （ii）得证.
n
k 1 k kn
n,当x E n f(x) n ，k 0,1, ,n 2 1；
令 n(x) n(f(x)) 2 2 2
n,当x E[f n].
由于f(x) 0，由 n的定义知 n(x)为E上的简单函数，且由 n的性质（i）与（ii）有
n(x) n 1(x)(n 1,2, )及lim n(x) lim n(f(x)) f(x).
n
n
（2）一般情形
对于一般的可测函数f(x)，f(x) f (x) f (x).
因为f(x)和f(x)是E上的非负可测函数，由（1）知存在非负递增简单函数列{ n(x)}
和{ n(x)}，使lim n(x) f(x)，lim n(x) f(x). 显然有
n
n
E[ n 0] E[f 0]，E[ n 0] E[f 0].
因为E[f 0] E[f
0 ] ，所以E[ n 0] E [n 0 ] . 因此 n(x)和
则 n(x)是E上的简单函 n(x)可以作为某个函数的正部和负部. 设 n(x) n(x) n(x)，
数，且对一切正整数n，有
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