函数论与测度(实变函数论)是高等师范院校数学专业的一门必修课程,它是普通微积分学的继续,是现代分析数学的基础。本课程的主要内容是n维欧氏空间上的Lebesgue 测度和Lebesgue积分理论。教学中要突出Lebesgue 测度与积分论的中心地位,使学生较好地掌握测度与积分这两个基本分析工具,能熟悉集合分解等基本方法。通过学习,使学生掌握一些近代抽象分析的基本思想,加深对数学分析中相关内容的理解;掌握实变函数的基本理论和方法
而( ) ( )，( ) ( )，( ) ( )，( ) ( )认为是没有意义的. 0 ( )在一般情况下，也是不允许的.
，，，
定义4.1.1 设f(x)是定义在可测集E R上的函数，如果对任何有限实数a，
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E[f a] {x:x E,f(x) a}都是可测集，则称f(x)为定义在E上的可测函数，或者说，f(x)在E上可测.
例1 区间[a,b]上的连续函数及单调函数都是可测函数.
证明 若f(x)是[a,b]上的连续函数，对任意的实数c，往证{x:f(x) c}是开集，任取x0 {x:f(x) c}，则f(x0) c，由连续函数的保号性知，存在 0，使得当
c}. 所以x0是x (x0 ,x0 )时，有f(x) c，所以(x0 ,x0 ) {x:f(x)
{x:f(x) c}的内点. 因此{x:f(x) c}是开集. 从而{x:f(x) c}是可测集，于是f(x)在E上可测.
若f(x)是[a,b]上的单调函数，不妨设f(x)是[a,b]上的单调增加函数，对任意的实数c. 当f(b) c时，{x:f(x) c}是空集 ，因而是可测集； 当c f(a)时，{x:f(x) c} [a,b]，也是可测集. 若f(a) c f(b)时，令x0 inf{x:f(x) c}，则 当f(x0) c时，{x:f(x) c} [x0,b]； 当f(x0) c时，{x:f(x) c} (x0,b].
因此，当f(a) c f(b)时，{x:f(x) c}也是可测集. 综合以上，f(x)是[a,b]上的可测函数.
定理4.1.1 设f(x)是可测集E R上的函数，则（i），（ii），（iii），（iv）是等价的. （i）f是E上的可测函数；
（ii）对任何实数a，E[f a]是可测集；
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