数学思想在中学解题中的应用4(5)

数学作为一门横断学科, 其方法已成功地渗透于一切科学领域。因此, 重视用各种数学思想指导数学教学是十分重要的同时, 也只有不断加强在数学教学中通过各种思维训练来达到理解、掌握数学思想和数学方法的精髓, 才有利于提高学生运用数学知识解决实际问题的能力,才有利于激发学生学习数学的兴趣。

例2 解方程 x 2 5 x 2 4 0

分析：此题实质为关于未知数(x 2)的一元二次方程。如果盲目把方程展开后再求解会非常麻烦, 所以解此方程应根据其特点,将(x 2)设为y,这样原方程就可以转化为关于y的一元二次方程,问题就可用已知的知识解决了。

解：令y x 2,则原方程变为y2 5y 4 0 y1 1或y2 4 2

即x 2 1或x 2 4 所以x 3或x 5

2.1.3 由复杂向简单的转化

数学中各门学科的知识都是遵循从简单到复杂的原则逐步发展而来。二个方面，一是：从知识的发生过程来看，简单与复杂的对立性是相对的；二是从知识的内容构成来看，一个复杂的问题往往是由几个简单问题组合而成。一个复杂问题时，应设法将其转化为简单问题。众所周知，多样性，常见的有分解、分类、特殊化等。

例3 求极限limsin2x x2cos2x

x 0x2sin2x. 分析：此题属于“0

”型未定式极限，一般直接用洛必达法则求极限，但考虑分

子、分母求导后会更加复杂，求解起来更加麻烦。极限公式等进行化简，再用洛必达法则，这样求极限过程得以简化。解：先化简极限

limsin2x x2cos2x

sinx xcosx sinx xcosx x 0x2sin2x limx 0x4因为lim sinx x 0

x cosx 2，利用洛必达法则求极限

limsinx xcosxcosxx 0x3 lim cos xsinxsinx1x 03x2 limx 03x 32.2 函数与方程的思想

函数与方程是数学中极其重要的内容。构造函数法是运用函数与方程的基本数学思想，对问题进行观察、分析，构造出函数式或方程，从而利用二者的有关性质来解决问题的一种方法。掌握这种方法，对于提高解题能力，的，下面列举实例来说明。

一般来说有因此，当面临实现化繁为简的途径具有

lim sinxx 0 x cosx sinx xcosx x3

所以，原式 23

拓展解题思路是十分有益倘若先利用等价无穷小替换或重要

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