2013年普通高考数学科一轮复习精品学案 第14讲 直线、圆的位置关系(7)

解法二：已知圆的标准方程是(x－2)+(y－2)=1，设交线L所在的直线的方程是 y-3=k(x+3)（其中斜率k待定），由题意知k≠0，于是L的反射点的坐标是（－

3(1 k)k

3(1 k)

k

22

，0），)，即

因为光线的入射角等于反射角，所以反射光线L′所在直线的方程为y= －k(x+

y+kx+3(1+k)=0。这条直线应与已知圆相切，故圆心到直线的距离为1，即d=以下同解法一。

|5k 5|1 k

2

=1。

点评：圆复合直线的对称问题，解题思路兼顾到直线对称性问题，重点关注对称圆的几何要素，特别是圆心坐标和圆的半径。

例10．已知函数f(x)=x－1(x≥1)的图像为C1，曲线C2与C1关于直线y=x对称。 （1）求曲线C2的方程y=g(x)；

（2）设函数y=g(x)的定义域为M，x1，x2∈M，且x1≠x2，求证|g(x1)－g(x2)|<|x1－x2|; （3）设A、B为曲线C2上任意不同两点，证明直线AB与直线y=x必相交。 解析：（1）曲线C1和C2关于直线y=x对称，则g(x)为f(x)的反函数。 ∵y=x2－1，x2=y+1，又x≥1，∴x=y 1，则曲线C2的方程为g(x)= （2）设x1，x2∈M，且x1≠x2，则x1－x2≠0。又x1≥0， x2≥0， ∴|g(x1)－g(x2)|=|

x1 1 －x2 1|=

x1 x2x1 1

x2 1

x 1(x≥0)。

2

≤

x1 x2

2

<|x1－x2|。

（3）设A(x1，y1)、B（x2，y2）为曲线C2上任意不同两点，x1，x2∈M，且x1≠x2， 由（2）知，|kAB|=|

y1 y2x1 x2

|=

|g(x1) g(x2)|

|x1 x2|

<1

∴直线AB的斜率|kAB|≠1，又直线y=x的斜率为1，∴直线AB与直线y=x必相交。 点评：曲线对称问题应从方程与曲线的对应关系入手来处理，最终转化为点的坐标之间的对应关系。

题型6：轨迹问题

例11．已知动圆过定点

x

p2

p

,0 ，且与直线 2

相切，其中p 0。

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