常微分方程第三版课后答案(20)

复数根 1 -1+3i, 2 -1-3i

故

通

解

为

x ct t1e cos3t c2esin3t

(5) x x x 0

解：特征方程 2 1 0有复数根 3i i1 1 2, 12 2,

故

通

解

为

x c 1

12

tc 1e

cost 2e

2

tsin3

22

t (6)

s a2s t 1

解：特征方程 2 a2 0有根

1 a, 2 -a

当a 0时，齐线性方程的通解为s=cat1e c2e at

~s A Bt

代入原方程解得

A B

1

a2

故通

解为

s=cat

1e

c at

2e

-1a

2(t 1) 当a=0时,~s t2( 1t 2)代入原方程解得 11 6

, 2 12

故通解为s=c1 c2t-16

t2

(t 3) (7)

x 4x 5x 2x 2t 3

解：特征方程 3 4 2 5 2 0有根 1 2,两重根 1 齐线性方程的通解为x=c2t1e c2et ct3te

又因为 0不是特征根，故

可以取特解行如x~

A Bt代入原方程解得A=-4，B=-1

故

通

解

为

x=c1e2t ct2e c3tet-4-t (8) x(4) 2x x t2 3

解

：特征方程

4 2 2 1 0有2重根 1，2重根 1

故齐线性方程的通解为x=c t1et ct2te c3e c t4te

取特解行如x~

At2 Bt c代入原方程解得A=1，B=0,C=1 故

通

解

为

x=c1et c t2tet c3e c t4te+t2 1 (9)x x cost

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