常微分方程第三版课后答案(13)

即方程的解为

ey x y 2x c

18

．

dyxp2 4xx2xpxdp22xdp p,则y p ,两边对x求导得p dx2p2p22dxpp2dxp2x2xdpp2x2x( ) ( ),( )dx ( )dp 0,(p3 4p)dx ( xp2 4x)dp 02p2pdx2p2pp(p2 4)dx x(p2 4)dp 0 p2 4或pdx xdp 0,当p2 4时y 2x,当pdx xdp 0时,

x

4x2y2dx 2x3y 1dy 0

解： 将方程变形后得

dy4x2y2

3

dx2xy 1

x2x2

4x 42xc2

p ,y c,2yc c2x2 4.

c

ccdy

20.y2 1 ()2 1

dx dy1dydy1sin d 2

解：令 p sin ,则y21 (sin ） 1，y ,dx d

dxcos psin sin cos2 cos2d

x c sec2 d c tg c所以方程的解为y2 （x c)2 1,另外由p 0得y 1也

2

dx2x3y 1x1

dy 4x2y2

2y

4x2y2 同除以x2得：

x2

dxx31dy 2y 4y

2 令z x

3

则

dz3zdy 2y 3

4y

2 3 z 3

2

2

y2 cy

即原方程的解为

3

x3

3

2

y2 cy2

19.X(dydx)2 2y(dy

dx

) 4x 0 解

：

方

程

可

化

为

x(

dy2y(

dy) x(dy

)2 4x,y )2

4xdxdx

2(dydx

) 令

cos

xx21.(1 ey)dx ey

(1

x

y

)dy 0解：令x z则x yz,dx z ydz

方程为(1 ez)dx (z 1)ezydydydy,

dxdy (z 1)ez1 ez zez z z ez1 ez z z ez1 ez z ydz1 ezdydy,z ezdz ylnz ez lny,y(z ez) c,y(x

x

x

ey) c所以方程的解为x yeyy

c22.

2xy2 3y3dx x2

y4

dy 0解：2xydx (y2 3x2)dy 0

M M N

y 2x, N x 6x, y x

2xy 8x4 4

dy 2xy y

所以方程有积分因子e y 42xy 3dx (y 2

3x2y4

)dy 0,dx21x21

y3 dy 0所以方程的解为y

3 y c即x2 y2 cy323.ydx (1 x y2)dy 0

解：ydx xdy (1 y2)dy,两边同除以y2得ydx xdy1 y2x1 y2

y2 y2dy,dy y2

dy

所以方程的解为

xy 1

y c即（x 1) y(y c),另外y 0也是解。24.

y x(x2 y2)

y

xdy 0解：方程可化为

ydx xdyxx2 y2

,darctgy xdx所以方程的解为arctgxx2

xdxy 2 c.

25.

dy

dy

dx

edx x 0dy p t,x t et由dy pdx得y t(1 et)dt c t2

解：令 ett etdx2

c

t2

所以方程的解为x t et 2 ett et c

dy

dy

25.

dx

edx x 0dydx p t则x t et由dy pdx得y t(1 et)dt c t2

解：令2

ett et c

2所以方程的解为：x t et，y t(1 et)dt c t

2

ett et c

326（.2xy x2y y

)dx (x2 y23

)dy 0

M N

M

2 y x y 2x x y2, N x 2x,x2 y 1所以方程有积分因子ex方程两边同乘ex2得d3exx2y dexy3 0所以方程的解为：3exx2y exy3 c

27.

dy2x 3y dx 44x 6y 5

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