64. 常用不等式：
22⑴a,b?R?a?b?2ab(当且仅当a＝b时取“=”号)；
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⑵a,b?R??a?b2?ab(当且仅当a＝b时取“=”号)；⑶a?b?a?b?a?b.
65. 极值定理
已知x,y都是正数，则有
“一定二正三相等” （1）若积xy是定值p，则当x?y时和x?y有最小值2p； 422推广形式：已知x,y?R，则有(x?y)?(x?y)?2xy ．．．．
（2）若和x?y是定值s，则当x?y时积xy有最大值
12s.
积定和最小 和定积最大 （1）若积xy是定值,则当|x?y|最大时,|x?y|最大；当|x?y|最小时,|x?y|最小. （2）若和|x?y|是定值,则当|x?y|最大时, |xy|最小；当|x?y|最小时, |xy|最大. 66. ①一元二次不等式ax2?bx?c?0(或?0)(a?0,??b2?4ac?0)，如果a与
ax?bx?c同号，则其解集在两根之外；如果a与ax?bx?c异号，则其解集在两根之间.
22简言之：同号两根之外，异号两根之间.
x1?x?x2?(x?x1)(x?x2)?0(x1?x2)； x?x1,或x?x2?(x?x1)(x?x2)?0(x1?x2). 对于a?0的情形“大射线小线段”．．．．
②简单的高次不等式的解法：数轴标根法（穿针引线法）。注意重因式的处理，奇次重根一次
穿过，偶次重根穿而不过。 例如：?x?3?2 1 ?x?1??x?1??x?5??0，如图 -3 3从图中易知解集为
- - -1 - 5 ???,?3????3,?1???1,5?
③一元二次方程的根的分布情况：设x1,x2是实系数二次方程ax?bx?c?0?a?0?的两个
2实根，则x1,x2的分布范围与二次方程系数之间的关系，如下表所示：
根的分布 x1?x2?k图像 1816141210k充要条件 ???0, ?67. 含有绝对值的不等式，当a> 0
时，有
x?a?x?a222 xOxx=-b/2a1012 f?k??0,??????b?k??2a??????f??????0,??a?x?a.
f(k) x?a?x?a?x?ax??a
2或
k?x1?x2 x1?k?x2kOx1x2?k??0,b2a?k
大射线 小线段 ．．．．．．
x=-b/2a x = -b/2ax1k1210 x2f(k)Of?k??0 68. （1）理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义
???0,?fk?0,??1???f?k2??0,??k??b?k12?2a?x1,x2??k1,k2?x = -b/2af(k1)k1 及取等号的条件：
|a?b|?|a|?|b|，a,b?R； |a?b|?|a?c|?|c?b|，a,b?R.
f(k2)k2 Ox1x2 f?k1??f?k2??0或?f?k??0,1x1、x2有且只有一个在??k?k2b?1?k1??2a2?（2）会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：
|ax?b|?ck1k2或?f?k2??0,??k1?k2b???k2?22a? ?k1,k2?内 O；
|ax?b|?c；
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|x?c|?|x?b|?a.
69. 无理不等式
?f(x)?0?（1）f(x)?g(x)??g(x)?0 ；
?f(x)?g(x)??f(x)?0?f(x)?0?（2）f(x)?g(x)??g(x)?0； 或??g(x)?0?f(x)?[g(x)]2??f(x)?0?（3）f(x)?g(x)??g(x)?0
?f(x)?[g(x)]2?70. 指数不等式与对数不等式 (1)当a?1时,
af(x)?ag(x)?f(x)?g(x); loga?f(x)?0?f(x)?logag(x)??g(x)?0.
?f(x)?g(x)?(2)当0?a?1时,
af(x)?ag(x)?f(x)?g(x);
loga?f(x)?0?f(x)?logag(x)??g(x)?0
?f(x)?g(x)?
第八章 立体几何
71. 常用公理和定理
公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内． 公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．
公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线． 公理4：平行于同一条直线的两条直线平行．
定理：①空间中如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
②平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行． ③一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行． ④一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则该直线与此平面垂直． ⑤一个平面过另一个平面的垂线，则两个平面垂直．
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⑥一条直线与一个平面平行，则过该直线的任一个平面与此平面的交线与该直线平行． ⑦两个平面平行，则任意一个平面与这两个平面相交所得的交线相互平行． ⑧垂直于同一个平面的两条直线平行．
⑨两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直． 72. 三余弦定理（最小角定理:立平斜公式）
设AB与平面α所成的角为?1,AC是α内的任一 条直线，且AC与AB的射影AB所成的角
/
为?2，AB与AC所成的角为?．则
cos??cos?1cos?2.如右图⑴。
/
BACB\'图⑴
B273. 空间两点间的距离公式 若A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，
????则dA,B=|AB|?????????AB?AB?(x2?x1)?(y2?y1)?(z2?z1). \'2274. 面积射影定理：S?Scos?分别是S、S\'，它们所在平面所成锐二面角的为?).如图⑵。
.(平面多边形及其射影的面积
B\'A75． 已知：长方体的体对角线与过同一顶点的三条棱所成的角分别为
C图⑵
222?、?、?，因此有cos??cos??cos??1；若长方体的体对角线与过同一顶点的三侧面所
成的角分别为?、?、?，则有cos2??cos2??cos2??2。（线线面12） 76． 棱锥的平行截面的性质：
如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积与底面面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比（对应角相等，对应边对应成比例的多边形是相似多边形，相似多边形面积的比等于对应边的比的平方）；相应小棱锥与小棱锥的侧面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比．）若每个顶点引出的棱数为m，则：. 77. 球
①球的半径是R，则其体积V?43②球的半径（R），截面圆半径（r），球心到截面的距离为（d）构成直角三角形，因而有关
?R,其表面积S?4?R2；
3系：r?R?d，它们是计算球的关键所在。 78. 球的组合体
(1)球与长方体的组合体: 长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.
(2)球与正方体的组合体:正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长. (3) 球与正四面体的组合体: 棱长为a的正四面体的内切球的半径为径为
64a.
612a,外接球的半
2279． 柱体、锥体的体积
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平湖烟雨暮色凉