高考数学立体几何强化训练(理科)(7)

百分教育

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∴ EF//平面PAD ．

（2）当平面PCD 与平面ABCD 成45?角时，直线EF ⊥平面PCD.

证明：∵G 为CD 中点，则EG ⊥CD ，∵PA ⊥底面ABCD ∴AD 是PD 在平面ABCD 内的射影。 ∵CD ?平面ABCD ，且CD ⊥AD ，故CD ⊥PD ．又∵FG ∥PD ∴FG ⊥CD ，故∠EGF 为平面PCD 与平面ABCD 所成二面角的平面角，即∠EGF=45?，从而得∠ADP=45?， AD=AP.由Rt ?PAE ?Rt ?CBE ，得PE=CE.又F 是PC 的中点，∴EF ⊥PC.由CD ⊥EG ，CD ⊥FG ，得CD ⊥平面EFG ，∴CD ⊥EF ，即EF ⊥CD 故EF ⊥平面PCD ． 20解：（Ⅰ）∵DE ⊥平面ACD ，AF ?平面ACD ∴DE ⊥AF 。又∵AC=AD=C ，F 为CD 中点

∴AF ⊥CD ，∴AF ⊥面CDE ∴AF ⊥平面CDE 。

（Ⅱ）∵AB DE ACD AB ACD DE //??

??⊥⊥平面平面 取DE 中点M ，连结AM 、CM ，则四边形AMEB 为平行四边形

AM//BE ，则∠CAM 为AC 与BE 所成的角。在△ACM 中，AC=2a

a a a DM AD AM 542222=+=+=

a a a DM CD CM 542222=+=+= 由余弦定理得：5

5522)5()5()2(cos 2

22=??-+=∠a a a a a CAM ∴异面直线AC 、AE 所成的角的余弦值为

55。 （Ⅲ）延长DA 。EB 交于点G ，连结CG 。

因为AB//DE ，AB=2

1DE ，所以A 为GD 中点。又因为F 为CD 中点，所以CG//AF 。 因为AF ⊥平面CDE ，所以CG ⊥平面CDE 。

故∠DCE 为面ACD 和面BCE 所成二面角的平面角易求∠DCE=45°。

21（Ⅰ）证明：如图1，取PD 的中点E ，连EO ，EM 。

∵EO//PB ，EO=

21PB ，MA//PB ，MA=2

1PB ，∴EO//MA ，且EO=MA ∴四边形MAOE 是平行四边形， ∴ME//AC 。又∵AC ?平面PMD ，ME ?平面PMD ，∴AC//平面PMD 。 （Ⅱ）如图1，PB ⊥平面ABCD ，

CD ?平面ABCD ， ∴CD ⊥PB 。又∵CD ⊥BC ， ∴CD ⊥平面PBC 。

∵CD ?平面PCD ， ∴平面PBC ⊥平面PCD 。

过B 作BF ⊥PC 于F ，则BF ⊥平面PDC ，连DF ，

则DF 为BD 在平面PCD 上的射影。

∴∠BDF 是直线BD 与平面PDC 所成的角。

不妨设AB=2，则在Rt △BFD 中，BD BF 21=

， ∴∠BDF=6π ∴直线BD 与平面PCD 所成的角是6

π （Ⅲ）解：如图3，分别延长PM ，BA ，设PM ∩BA=G ，连DG ，

则平面PMD ∩平面=ABCD=DG

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