高考数学立体几何强化训练(理科)(8)

百分教育

第 8 页 （共 10 页） 过A 作AN ⊥DG 于N ，连MN 。 ∵PB ⊥平面ABCD ， ∴MN ⊥DG

∴∠MNA 是平面PMD 与平面ABCD 所成

的二面角的平面角（锐角）

在Rt △MAN 中，22tan ==∠NA MA MNA ，∴∠

MNA=arctan 2

2 ∴平面PMD 与平面ABCD 所成的二面角（锐角）大小

是arctan 2

2 22解：（I ）因为1A D ⊥平面ABC ，所以平面11AAC C ⊥平面ABC ，

又BC AC ⊥，所以BC ⊥平面11AA C C ，

得1BC AC ⊥，又11BA AC ⊥ 所以1AC ⊥平面1A BC ；

（II ）因为11AC AC ⊥，所以四边形11AA C C 为菱形，

故12AA AC ==，又D 为AC 中点，知160A AC ∠= 。

取1AA 中点F ，则1AA ⊥平面BCF ，从而面1A AB ⊥面BCF ，

过C 作CH BF ⊥于H ，则CH ⊥面1A AB ，在Rt BCF ?中，2,BC CF ==7

CH =，

即1CC 到平面1A AB 的距离为7CH =。

（III ）过H 作1HG A B ⊥于G ，连CG ，则1CG A B ⊥， 从而CGH ∠为二面角1A A B C --的平面角，在1Rt A BC ?中，1

2AC BC ==，所以CG =， 在Rt CGH ?中，sin 7CH CGH CG ∠==，故二面角1A A B C --的大小为arcsin 7

。 解法2：（I ）如图，取AB 的中点E ，则//DE BC ，因为BC AC ⊥，

所以DE AC ⊥，又1A D ⊥平面ABC ， 以1,,DE DC DA 为,,x y z 轴建立空间坐标系，

则()0,1,0A -，()0,1,0C ，()2,1,0B ，()10,0,A t ，()10,2,C t ，

()10,3,AC t = ，()12,1,BA t =-- ，()2,0,0CB = ，由10AC CB ?= ，知1

AC CB ⊥，

又11BA AC ⊥，从而1AC ⊥平面1A BC ；

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