数学竞赛中的数论问题(14)

n p1a1，1 a1 n．

如果a1为素数，命题已成立．当a1为合数时，a1的最小正约数p2为必为素数，有

n p1a1 p1p2a2，1 a2 a1 n．

这个过程继续进行下去，由于n为有限数，而每进行一步ai就要变小一次，于是，经过有限次后，比如m次，n就变为素数的乘积

n p1p2

pm．

下面证明分解式是唯一的．假设n还有另一个分解式 n q1q2则有 p1p2

qt， ② pm q1q2

qt． ③

,pm中的

因为等式的右边能被q1整除，所以左边也能被q1整除，于是q1整除p1,p2,某一个pi，但pi为素数，所以pi与q1相等，不妨设pi为p1，有

p1 q1．

把等式③两边约去p1 q1，得 p2p3

pm q2q3qt．

再重复上述步骤，又可得p2 q2，p3 q3， ，直到等式某一边的因数被全部约完，这时，如果另一边的因数没有约完，比如右边没有被约完（m t），则有

1 qm 1qm 2但qm 1,qm 2,

qt． ④

qt 1，这表明等式④不

,qt均为素数，素数都大于1，有qm 1qm 2

可能成立，两个分解式的因数必然被同时约完，即分解式是唯一的． 将分解式按pi的递增排列，并将相同的pi合并成指数形式，即得

n p1 1p2 2

其中p1 p2

pk k．

, k为正整数．

pk为素数， 1, 2,

证明2 用第二数学归纳法证明

n p1p2pm，p1 p2 pm．

（1）当n 2，因为2为素数，命题成立．

搜索“diyifanwen.net”或“第一范文网”即可找到本站免费阅读全部范文。收藏本站方便下次阅读，第一范文网，提供最新工程科技数学竞赛中的数论问题(14)全文阅读和word下载服务。