数学竞赛中的数论问题(13)

abm

q， kkk

得

ab m mod ． kk k

定理10 设a,b为整数，n为正整数，

nn

（1）若a b，则 a b a b．

an bn a b an 1 an 2b an 3b2

（2）若a b，则 a b a

abn 2 bn 1 ．

2n 1

b2n 1 ．

ab2n 3 b2n 2 ．

a2n 1 b2n 1 a b a2n 2 a2n 3b a2n 4b2

（3）若a b，则 a b a

2n

b2n ．

ab2n 2 b2n 1 ．

a2n b2n a b a2n 1 a2n 2b a2n 3b2

定义7 设n为正整数，k为大于2的正整数, a1,a2,,am是小于k的非负整数，且

a1 0．若

n a1km 1 a2km 2 则称数a1a2

am 1k am，

am为n的k进制表示． n a110m 1 a210m 2 n a12m 1 a22m 2

定理11 给定整数k 2，对任意的正整数n，都有唯一的k进制表示．如

am 110 am，0 ai 9,a1 0（10进制） am 12 am．0 ai 1,a1 0（２进制）

定理12 （算术基本定理）每个大于1的正整数都可分解为素数的乘积，而且不计因数的顺序时，这种表示是唯一的

n p11p2其中p1 p2

2

pk k，

, k为正整数． （分解唯一性）

pk为素数， 1, 2,

证明1 先证明，正整数n可分解为素数的乘积

n p1p2pm． ①

如果大于1的正整数n为素数，命题已成立．

当正整数n为合数时，n的正约数中必有一个最小的，记为p1，则p1为素数，有

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