数学竞赛中的数论问题(18)

证明 由于p为素数，故在n!中p的次方数是1,2,意，若p不为素数，这句话不成立）．

在1,2,

,n各数中p的次方数的总和（注

n n n

,n中，有 个p的倍数；在 个p的倍数的因式中，有 2 个p2的

p p p

倍数；在

n n 2

个的倍数的因式中，有个p3的倍数； ，如此下去，在正整数n!p 2 3 p p

n n n

3 2

p p p

的素因子分解式中，素数p作为因子出现的次数就为

．

注 省略号其实是有限项之和． 画线示意50!中2的指数．

50! 2 13 25 37 411 513 617 719 823 9293137414347

p 1

定理15 （费玛小定理）如果素数p不能整除整数a，则pa 1．

证明1 考察下面的p 1个等式： a pq1 r1，0 r1 p，

2a pq2 r2，0 r2 p

p 1 a pqp 1 rp 1，0 rp 1 p

由于素数p不能整除整数a，所以，p不能整除每个等式的左边，得r1,r2,为0，只能取1,2,

,rp 1均不

,p 1．下面证明r1,r2,,rp 1各不相等．

若不然，存在t,s,1 t s p 1，使

sa pqs rs,

ta pqt rt,

rs rt,

相减 s t a p qs qt ．

应有素数p整除 s t a，但素数p不能整除a，所以素数p整除 s t ，然而由

1 t s p 1可得

搜索“diyifanwen.net”或“第一范文网”即可找到本站免费阅读全部范文。收藏本站方便下次阅读，第一范文网，提供最新工程科技数学竞赛中的数论问题(18)全文阅读和word下载服务。