数学竞赛中的数论问题(22)

x x0,

是整系数不定方程ax by c的一个整数

y y0,

x x0 bt,

t Z ． ①

y y at,0

证明 直接代入知①是方程的整数解，下面证明任意一个整数解都有①的形式. 由 x0,y0 是方程的一个解，有

ax0 by0 c，

又方程的任意一个解 x,y 满足

ax by c， ② 相减 a x x0 b y y0 0． ③ 但 a,b 1，故有 a| y y0 ， 有

x x0y y0

t,t Z ba

得方程的任意一个整数解可以表示为

x x0 bt,

t Z ．

y y0 at,

定义10 （平面整点）在平面直角坐标系上，纵横坐标都是整数的点称为整点（也称格点）．类似地可以定义空间整点．

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