数学竞赛中的数论问题(8)

推论 若 a,b 1，则存在整数s,t，使as bt 1．（很有用） 定理5 互素的简单性质： （1） 1,a 1． （2） n,n 1 1． （3） 2n 1,2n 1 1．

（4）若p是一个素数，a是任意一个整数，且a不能被p整除，则 a,p 1． 证明 因为 a,p |p，所以，素数p的约数只有两种可能： a,p 1, a,p p．但

a不能被p整除， a,p p，得 a,p 1．

推论 若p是一个素数，a是任意一个整数，则 a,p 1或 a,p p． （5）若 a,b 1，则存在整数s,t，使as bt 1．（定理4推论） （6）若 a,b 1, a,c 1，则 a,bc 1． 证明 由 a,b 1知存在整数s,t，使as bt 1． 有 a cs bct c， 得 a,bc a,c 1．

（7）若 a,b 1，则 a b,a 1， a b,b 1， a b,ab 1． 证明 a b,a b,a b,a 1， a b,b a,b 1， 由（6） a b,ab 1．

mn

（8）若 a,b 1，则a,b 1，其中m,n为正整数． m

证明 据（6），由 a,b 1可得a,b 1． mmn

同样，由a,b 1可得a,b 1．

定理6 设a是大于1的整数，则a的除1之外的最小的正约数q必是素数，且当a是

合数时，q

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