数学竞赛中的数论问题(23)

第二讲 数论题的范例讲解

主要讲几个重要类型：奇数与偶数，约数与倍数（素数与合数），平方数，整除，同余，不定方程，数论函数等．重点是通过典型范例来分析解题思路、提炼解题方法和巩固基本内容．

一、奇数与偶数

整数按照能否被2整除可以分为两类，一类余数为0，称为偶数，一类余数为1，称为奇数．偶数可以表示为2n，奇数可以表示为2n 1或2n 1．一般地，整数被正整数m去除，按照余数可以分为m类，称为模m的剩余类Ci xx i modm ，从每类中各取出一个元素ai Ci，可得模m的完全剩余系（剩余类派出的一个代表团），0,1,2,

,m 1称

为模m的非负最小完全剩余系.

通过数字奇偶性质的分析而获得解题重大进展的技巧，常称作奇偶分析，这种技巧与分类、染色、数字化都有联系，在数学竞赛中有广泛的应用． 关于奇数和偶数，有下面的简单性质：

（1）奇数 偶数．

（2）偶数的个位上是0、2、4、6、8；奇数的个位上是1、3、5、7、9． （3）奇数与偶数是相间排列的；两个连续整数中必是一个奇数一个偶数；． （4）奇数个奇数的和是奇数；偶数个奇数的和是偶数；偶数跟奇数的和是奇数；任意多个偶数的和是偶数．

（5）除2外所有的正偶数均为合数；

（6）相邻偶数的最大公约数为2，最小公倍数为它们乘积的一半． （7）偶数乘以任何整数的积为偶数．

（8）两数和与两数差有相同的奇偶性，a b a b mod2 ． （9）乘积为奇数的充分必要条件是各个因数为奇数． （10）n个偶数的积是2的倍数．

（11） 1 1的充分必要条件是k为偶数， 1 1的充分必要条件是k为奇数．

（12） 2n 0 mod4 , 2n 1 1 mod4 , 2n 1 1 mod8 ． （13）任何整数都可以表示为n 2

例1 （1906，匈牙利）假设a1,a2,数，则乘积

a1 1 a2 2 是偶数．

解法1 （反证法）假设 a1 1 a2 2

m

2

2

2

k

k

n

2k 1 ．

,n的某种排列，证明：如果n是奇

,an是1,2,

an n

an n 为奇数，则ai i均为奇数，奇

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