数学竞赛中的数论问题(12)

定义6 对于整数a,b,c，且c 0，若c(a b)，则称a,b关于模c同余，记作

a b(modc)；若c | a b ，则称a,b关于模c不同余，记作

a

定理9（同余的性质）设a,b,c,d,m为整数，m 0, （1）若a b(modm)且b c(modm)，则a c(modm)； 证明 由a b(modm)且b c(modm)，有 a b mq1,b c mq2，

b(modc)．

a c m q1 q2 ，

得a c(modm)．

c b d（2）若a b(modm)且c d(modm)，则a

证明 由a b(modm)且c d(modm)，有

m(odm)且ac bd(modm)．

a b mq1,c d mq2， ① 对①直接相加 ，有

a c b d m q1 q2 ，

得 a c b d(modm).

对①分别乘以c,b后相加，有

ac bd ac bc bc bd m cq1 bq2 ，

得 ac bd(modm)．

（3）若a b(modm)，则对任意的正整数n有a b(modm)且an bn(modmn). （4）若a b(modm)，且对非零整数k有k(a,b,m)，则

n

n

ab m

mod ． kk k

证明 由a b(modm)、，有 a b mq， 又k(a,b,m)，有

abm

,,均为整数，且 kkk

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