2015广东省广州市、深圳市高三(上)12月联考数学试卷(理科)(11)

2016届高三高考模拟试卷

设与的夹角是θ，则（） =|| ||=2 2 cosθ，

∴2 2 cosθ=2，解得cosθ=．

再由 0≤θ≤π，可得 θ=60°， 故答案为60°．

【点评】本题主要考查两个向量的数量积的定义，求两个向量的夹角的方法，属于中档题．

14．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知△ABC的面积为3，b﹣c=2，cosA=﹣，则a的值为 【考点】余弦定理． 【专题】解三角形．

【分析】由cosA=﹣，A∈（0，π），可得sinA=

2

2

2

．利用S△ABC=

=，化

为bc=24，又b﹣c=2，解得b，c．由余弦定理可得：a=b+c﹣2bccosA即可得出． 【解答】解：∵A∈（0，π），∴sinA=∵S△ABC=

=

bc=

=

，化为bc=24，

．

又b﹣c=2，解得b=6，c=4．

由余弦定理可得：a=b+c﹣2bccosA=36+16﹣48×

2

2

2

=64．

解得a=8． 故答案为：8．

【点评】本题考查了余弦定理、同角三角函数基本关系式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

15．设数列{an}是公差不为0的等差数列，Sn为其前n项和，若

，S5=5，则a7的值

为 9 ．

【考点】等差数列的前n项和；等差数列的通项公式． 【专题】等差数列与等比数列．

【分析】设出等差数列的公差，由题意列关于首项和公差的二元一次方程组，求出首项和公差，则a7的值可求．

【解答】解：设等差数列{an}的公差为d（d≠0），由

，S5=5，

得，

整理得，解得．

2016届高三高考模拟试卷

所以a7=a1+6d=﹣3+6×2=9． 故答案为9．

【点评】本题考查了等差数列的通项公式和前n项和公式，考查了学生的计算能力，是基础题．

16．定义在R上的函数f（x）=ax+bx+cx（a≠0）的单调增区间为（﹣1，1），若方程3a（f（x））

2

3

2

+2bf（x）+c=0恰有6个不同的实根，则实数a的取值范围是

【考点】利用导数研究函数的极值；根的存在性及根的个数判断． 【专题】导数的综合应用．

【分析】根据函数的单调区间求出a，b，c的关系，然后利用导数研究三次函数的极值，利用数形结合即可得到a的结论．

32

【解答】解：∵函数f（x）=ax+bx+cx（a≠0）的单调增区间为（﹣1，1）， ∴f'（x）＞0的解集为（﹣1，1），

2

即f'（x）=3ax+2bx+c＞0的解集为（﹣1，1），

2

∴a＜0，且x=﹣1和x=1是方程f'（x）=3ax+2bx+c=0的两个根， 即﹣1+1=

，

，

解得b=0，c=﹣3a．

3232

∴f（x）=ax+bx+cx=ax﹣3ax=ax（x﹣3），

22

则方程3a（f（x））+2bf（x）+c=0等价为3a（f（x））﹣3a=0，

2

即（f（x））=1，即f（x）=±1．

2

要使方程3a（f（x））+2bf（x）+c=0恰有6个不同的实根，即f（x）=±1．各有3个不同的根，

3232

∵f（x）=ax+bx+cx=ax﹣3ax=ax（x﹣3），

22

∴f'（x）=3ax﹣3a=3a（x﹣1）， ∵a＜0，

∴当f'（x）＞0得﹣1＜x＜1，此时函数单调递增， 当f'（x）＜0得x＜﹣1或x＞1，此时函数单调递减， ∴当x=1时，函数取得极大值f（1）=﹣2a， 当x=﹣1时，函数取得极小值f（﹣1）=2a，

2

∴要使使方程3a（f（x））+2bf（x）+c=0恰有6个不同的实根，即f（x）=±1各有3个不同的根， 此时满足f极小（﹣1）＜1＜f极大（1），f极小（﹣1）＜﹣1＜f极大（1）， 即2a＜1＜﹣2a，且2a＜﹣1＜﹣2a，

即，且，

解得即a故答案为：a

且a

．

，

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