2015广东省广州市、深圳市高三(上)12月联考数学试卷(理科)(14)

2016届高三高考模拟试卷

（Ⅱ）令h（x）=f（x）+b，则h（x）=

2

，h′（x）=，则

[f（x）+b]≤4对x∈[﹣1，1]恒成立，转化为﹣2≤h（x）≤2对x∈[﹣1，1]恒成立，分类讨论，即可求3a+b的取值范围．

【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=x+3|x﹣

a|=

3

，

∴f′（x）=，

①a≤﹣1时，∵﹣1≤x≤1，∴x≥a，f（x）在（﹣1，1）上是增函数， ∴M（a）=f（1）=4﹣3a，m（a）=f（﹣1）=﹣4﹣3a， ∴M（a）﹣m（a）=8；

3

②﹣1＜a＜1时，x∈（a，1），f（x）=x+3x﹣3a，在（a，1）上是增函数；x∈（﹣1，a），f（x）3

=x﹣3x+3a，在（﹣1，a）上是减函数，

3

∴M（a）=max{f（1），f（﹣1）}，m（a）=f（a）=a， ∵f（1）﹣f（﹣1）=﹣6a+2，

∴﹣1＜a≤时，M（a）﹣m（a）=﹣a﹣3a+4；

＜a＜1时，M（a）﹣m（a）=﹣a+3a+2；

③a≥1时，有x≤a，f（x）在（﹣1，1）上是减函数， ∴M（a）=f（﹣1）=2+3a，m（a）=f（1）=﹣2+3a， ∴M（a）﹣m（a）=4；

（Ⅱ）令h（x）=f（x）+b，则h（x）=

2

3

3

，h′（x）=，

∵[f（x）+b]≤4对x∈[﹣1，1]恒成立， ∴﹣2≤h（x）≤2对x∈[﹣1，1]恒成立， 由（Ⅰ）知，

①a≤﹣1时，h（x）在（﹣1，1）上是增函数，最大值h（1）=4﹣3a+b，最小值h（﹣1）=﹣4﹣3a+b，则﹣4﹣3a+b≥﹣2且4﹣3a+b≤2矛盾；

②﹣1＜a≤时，最小值h（a）=a+b，最大值h（1）=4﹣3a+b，∴a+b≥﹣2且4﹣3a+b≤2， 令t（a）=﹣2﹣a+3a，则t′（a）=3﹣3a＞0，t（a）在（0，）上是增函数，∴t（a）＞t（0）=﹣2，

∴﹣2≤3a+b≤0；

③＜a＜1时，最小值h（a）=a+b，最大值h（﹣1）=3a+b+2，则a+b≥﹣2且3a+b+2≤2，∴﹣＜3a+b≤0； ④a≥1时，最大值h（﹣1）=3a+b+2，最小值h（1）=3a+b﹣2，则3a+b﹣2≥﹣2且3a+b+2≤2，∴3a+b=0． 综上，3a+b的取值范围是﹣2≤3a+b≤0．

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