2016届高三高考模拟试卷
【考点】用空间向量求平面间的夹角；平面与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法． 【专题】空间位置关系与距离；空间角． 【分析】（1）利用线面垂直的性质可得PB⊥AC，利用线面垂直的判定即可得出AC⊥平面PBC，利用面面垂直的判定定理即可证明结论；
（2）通过建立空间直角坐标系，利用两条异面直线的方向向量的夹角即可得出BC的长度，进而利用两个平面的法向量的夹角即可得出二面角． 【解答】（1）证明：∵PB⊥平面ABC，∴PB⊥AC； ∵∠BCA=90°，∴AC⊥BC；
又∵PB∩BC=B，∴AC⊥平面PBC； 又∵AC 平面PAC，∴面PAC⊥面PBC
（2）以C为原点，CA、CB所在直线为x，y轴建立空间直角坐标系，设BC=m＞0， 则C（0，0，0），A（2，0，0），E（0，，1），B（0，m，0），P（0，m，2）． ∴由
，得
，
，由
，
=
． =
，
∴，解得m=．
则，．
设平面ABE的一个法向量为=（x，y，z），则，取x=1，则y=，z=1，
∴=（1，，1）．
取平面ABC的一个法向量=（0，0，1）， ∴
=
=
=．∴
．
∴二面角C﹣AB﹣E的大小为60°．
2016届高三高考模拟试卷
【点评】本题综合考查了通过建立空间直角坐标系求异面直线的夹角、二面角，线面、面面垂直的判定与性质定理，需要较强的推理能力、计算能力和空间想象能力．
20．已知椭圆C的中心在坐标原点，左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆C上的动点，△PF1F2的面积最大值为，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线3x﹣4y+5=0相切． （1）求椭圆C的方程；
（2）若直线l过定点（1，0）且与椭圆C交于A，B两点，点M是椭圆C的右顶点，直线AM与直线BM分别与y轴交于P，Q两点，试问以线段PQ为直径的圆是否过x轴上的定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理由．
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程． 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】（1）利用直线与圆相切以及三角形的面积列出方程组求出b，c，a．即可解得椭圆C的方程．
（2）以线段PQ为直径的圆过x轴上的定点．当直线l斜率不存在时，直接求出定点坐标．当直线l斜率存在时，设y=k（x﹣1），（k≠0）．联立直线与椭圆方程，设A（x1，y1），B（x2，y2），利用韦达定理，通过直线AM的方程，直线BM的方程，转化已知条件为量积求解定点坐标．
【解答】解：（1）由题意椭圆C的中心在坐标原点，左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆C上的动点，
△PF1F2的面积最大值为，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线3x﹣4y+5=0相切．
恒成立．然后利用数
可得，解得b=1，c=，a=2．
所以椭圆C的方程是． …（4分）
（2）以线段PQ为直径的圆过x轴上的定点． 当直线l斜率不存在时
以线段PQ为直径的圆的方程为：x+y=3，恒过定点当直线l斜率存在时 设y=k（x﹣1），（k≠0）．
2
2
2
2
2
2
．…（5分）
由得（1+4k）x﹣8kx+4k﹣4=0．
2016届高三高考模拟试卷
设A（x1，y1），B（x2，y2），则有x1+x2=，x1x2=
．…（7分）
又因为点M是椭圆C的右顶点，所以点M（2，0）． 由题意可知直线AM的方程为：y=
（x﹣2），故点P）．
直线BM的方程为：，故点Q（）． …（8分）
若以线段PQ为直径的圆过x轴上的定点N（x0，0）， 则等价于又因为
恒成立． …（9分）
，
，
所以恒成立．
又因为（x1﹣2）（x2﹣2）=x1x2﹣2（x1+x2）+4=
=，
y1y2
=
=
=
，
所以=
=
．解得x0=
．
故以线段PQ为直径的圆过X轴上的定点（）． …（12分） （或设x=my+1请酌情给分）
【点评】本题考查椭圆的方程的求法，直线与圆的位置关系，恒过定点问题的求解方法，考查转化思想以及计算能力．向量在解析几何中的应用，注意直线的斜率是否存在，防止漏解．
21．已知函数f（x）=x+3|x﹣a|（a∈R）．
（Ⅰ）若f（x）在[﹣1，1]上的最大值和最小值分别记为M（a），m（a），求M（a）﹣m（a）；
2
（Ⅱ）设b∈R，若[f（x）+b]≤4对x∈[﹣1，1]恒成立，求3a+b的取值范围． 【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用． 【专题】导数的综合应用． 【分析】（Ⅰ）利用分段函数，结合[﹣1，1]，分类讨论，即可求M（a）﹣m（a）；
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